Calcular el área de la región de una esfera unitaria comprendida entre meridianos $$\theta_1$$ y $$\theta_2$$ que satisfacen $$\theta_2-\theta_1=\dfrac{\pi}{2}$$ y los paralelos $$z=0$$ y $$z=\dfrac{1}{2}$$.
Desarrollo:
Primero de todo, parametrizamos la región. Utilizamos la parametrización de la esfera cambiando los parámetros: $$ r(\varphi,\theta)=(\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\cos\theta, \cos\varphi)$$.
El enunciado nos dice que la región esta acotada por dos meridianos, $$\theta_1$$ y $$\theta_2$$. Por lo tanto, el intervalo de variación de $$\theta$$ es $$\theta\in\big[ \theta_1,\theta_2 \big]$$.
Tenemos, además que la región está acotada por los paralelos $$z = 0$$ y $$z = \dfrac{1}{2}$$. Es decir, $$0\leqslant\cos\varphi \leqslant \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{\pi}{3}\leqslant\varphi\leqslant\dfrac{\pi}{2}$$.
Una vez parametrizada la región, calculemos las derivadas de esta parametrización y el módulo de su producto vectorial:
$$ \left. \begin{array}{l} r_\varphi=\big(\cos\theta\cos\varphi, \sin\theta\cos\varphi,-\sin\varphi\big) \\ r_\theta=\big(-\sin\theta\sin\varphi, \sin\varphi\cos\theta,0\big) \end{array} \right\} $$
$$\begin{array}{lcl} \Rightarrow \ r_\varphi \times r_\theta &=& \begin{vmatrix} i & j & k \\ \cos\theta\cos\varphi & \sin\theta\cos\varphi & -\sin\varphi \\ -\sin\theta\sin\varphi & \sin\varphi\cos\theta & 0 \end{vmatrix} \\ &=& \big( \sin^2\varphi\cos\theta, \sin^2\varphi\sin\theta, \sin\varphi\cos\theta\big) \\ \Rightarrow \ |r_\varphi \times r_\theta| &=& \sqrt{\sin^4\varphi\sin^2\theta + \sin^4\varphi\cos^2\varphi + \sin^2\varphi\cos^2\theta} \\ &=& \sqrt{\sin^4\varphi + \sin^2\varphi\cos^2\varphi} = \sin\varphi \end{array}$$
Finalmente, integremos:
$$$ \begin{array}{rl} \text{Área}(S)=&\int_S dS=\iint |r_\varphi \times r_\theta| \ d\varphi \ d\theta= \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi \ d\varphi \ d\theta \\ =& \int_{\theta_1}^{\theta_2}[-\cos\varphi]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \ d\theta = \dfrac{1}{2} (\theta_2-\theta_1)= \dfrac{\pi}{4} \end{array} $$$
Solución:
$$\text{Área}(S)= \dfrac{\pi}{4}$$