Calcular l'àrea de la regió d'una esfera unitària compresa entre meridians $$\theta_1$$ i $$\theta_2$$ que satisfan $$\theta_2-\theta_1=\dfrac{\pi}{2}$$ i els paral·lels $$z=0$$ i $$z=\dfrac{1}{2}$$.
Desenvolupament:
Primer de tot, parametritzar la regió. Utilitzem la parametrització de l'esfera canviant els paràmetres: $$ r(\varphi,\theta)=(\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\cos\theta, \cos\varphi)$$.
L'enunciat ens diu que la regió està delimitada per dos meridians, $$\theta_1$$ i $$\theta_2$$. Per tant, l'interval de variació de $$\theta$$ és $$\theta\in\big[ \theta_1,\theta_2 \big]$$.
Tenim, a més, que la regió està acotada pels paral·lels $$z = 0$$ i $$z = \dfrac{1}{2}$$. És a dir, $$0\leqslant\cos\varphi \leqslant \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{\pi}{3}\leqslant\varphi\leqslant\dfrac{\pi}{2}$$.
Un cop parametritzada la regió, calculem les derivades d'aquesta parametrització i el mòdul del seu producte vectorial:
$$ \left. \begin{array}{l} r_\varphi=\big(\cos\theta\cos\varphi, \sin\theta\cos\varphi,-\sin\varphi\big) \\ r_\theta=\big(-\sin\theta\sin\varphi, \sin\varphi\cos\theta,0\big) \end{array} \right\} $$
$$\begin{array}{lcl} \Rightarrow \ r_\varphi \times r_\theta &=& \begin{vmatrix} i & j & k \\ \cos\theta\cos\varphi & \sin\theta\cos\varphi & -\sin\varphi \\ -\sin\theta\sin\varphi & \sin\varphi\cos\theta & 0 \end{vmatrix} \\ &=& \big( \sin^2\varphi\cos\theta, \sin^2\varphi\sin\theta, \sin\varphi\cos\theta\big) \\ \Rightarrow \ |r_\varphi \times r_\theta| &=& \sqrt{\sin^4\varphi\sin^2\theta + \sin^4\varphi\cos^2\varphi + \sin^2\varphi\cos^2\theta} \\ &=& \sqrt{\sin^4\varphi + \sin^2\varphi\cos^2\varphi} = \sin\varphi \end{array}$$
Finalment, integrem:
$$$ \begin{array}{rl} \text{Àrea}(S)=&\int_S dS=\iint |r_\varphi \times r_\theta| \ d\varphi \ d\theta= \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi \ d\varphi \ d\theta \\ =& \int_{\theta_1}^{\theta_2}[-\cos\varphi]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \ d\theta = \dfrac{1}{2} (\theta_2-\theta_1)= \dfrac{\pi}{4} \end{array} $$$
Solució:
$$\text{Àrea}(S)= \dfrac{\pi}{4}$$