Exercicis de Càlcul d'àrees de superfícies a l'espai

Calcular l'àrea de la regió d'una esfera unitària compresa entre meridians θ1 i θ2 que satisfan θ2θ1=π2 i els paral·lels z=0 i z=12.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Primer de tot, parametritzar la regió. Utilitzem la parametrització de l'esfera canviant els paràmetres: r(φ,θ)=(sinφcosθ,sinφcosθ,cosφ).

L'enunciat ens diu que la regió està delimitada per dos meridians, θ1 i θ2. Per tant, l'interval de variació de θ és θ[θ1,θ2].

Tenim, a més, que la regió està acotada pels paral·lels z=0 i z=12. És a dir, 0cosφ12π3φπ2.

Un cop parametritzada la regió, calculem les derivades d'aquesta parametrització i el mòdul del seu producte vectorial:

rφ=(cosθcosφ,sinθcosφ,sinφ)rθ=(sinθsinφ,sinφcosθ,0)}

 rφ×rθ=|ijkcosθcosφsinθcosφsinφsinθsinφsinφcosθ0|=(sin2φcosθ,sin2φsinθ,sinφcosθ) |rφ×rθ|=sin4φsin2θ+sin4φcos2φ+sin2φcos2θ=sin4φ+sin2φcos2φ=sinφ

Finalment, integrem:

Àrea(S)=SdS=|rφ×rθ| dφ dθ=θ1θ2π3π2sinφ dφ dθ=θ1θ2[cosφ]π3π2 dθ=12(θ2θ1)=π4

Solució:

Àrea(S)=π4

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria