Càlcul d'àrees de superfícies a l'espai

Exemple

Anem a calcular, per veure un exemple, la superfície d'una esfera de radi $R$. Suposarem que està centrada a l'origen. D'aquesta manera l'esfera ve donada per l'equació: $x^2+y^2+z^2=R^2$.

Prenent coordenades esfèriques, tenim que la superfície es pot parametritzar per:

$$r(\phi ,\theta )=(R\sin \phi \cos \theta ,R\sin \phi \sin \theta ,R\cos \phi )\text{ amb }\phi \in [0,\pi ]\theta \in [0,2\pi ]$$

Calculem ara les derivades de la parametrització i el mòdul del seu producte vectorial:

$\begin{array}{l}{r}_{\phi }=(R\cos \theta \cos \phi ,R\sin \theta \cos \phi ,-R\sin \phi )\\ r_{\theta }=(-R\sin \theta \sin \phi ,R\sin \phi \cos \theta ,0)\end{array}\}$

$\begin{array}{lcl}\Rightarrow r_{\phi }\times r_{\theta }& =& \left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ R\cos \theta \cos \phi & R\sin \theta \cos \phi & -R\sin \phi \\ -R\sin \theta \sin \phi & R\sin \phi \cos \theta & 0\end{array}\right|\\ & =& (R^2{\sin }^2\phi \cos \theta ,R^2{\sin }^2\phi \sin \theta ,R^2\sin \phi \cos \theta )\\ \Rightarrow |r_{\phi }\times r_{\theta }|& =& \sqrt{R^4{\sin }^4\phi {\sin }^2\theta +R^4{\sin }^4\phi {\cos }^2\phi +R^4{\sin }^2\phi {\cos }^2\theta }\\ & =& \sqrt{R^4{\sin }^4\phi +R^4{\sin }^2\phi {\cos }^2\phi }=R^2\sin \phi \end{array}$

Per tant, tenim: $$\begin{array}{rl}\text{Àrea}(S)=& {\int }_{S}dS=\iint |r_{\phi }\times r_{\theta }|d\phi d\theta ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{R}^2\sin \phi d\phi d\theta \\ =& R^2{\int }_0^{2\pi }[-\cos \phi {]}_0^{\pi }d\theta =2R^{2}2\pi =4\pi R^2\end{array}$$