Càlcul d'àrees del pla a partir del teorema de Green

Una eina molt potent en el càlcul integral és el teorema de Green. Considerem un camp vectorial F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)), C una corba tancada en el pla i S la superfície interior delimitada per la corba.

Llavors: CF dr=S(QxPy) dx dy

L'aplicació en el càlcul d'àrees és el següent, considerar un camp tan gran que QxPy=1. Aleshores el terme de la dreta no és més que l'àrea del recinte S. Per tant, podrem calcular fent una integral de línia a la frontera del recinte.

De camps que compleixin la propietat QxPy=1 n'hi ha molts, però els més utilitzats són:

  • F(x,y)=(0,x)
  • F(x,y)=(y,0)
  • F(x,y)=(y,x)

Exemple

Per exemple anem a calcular l'àrea delimitada per la corba parametritzada per: α(θ)=(3sin(2θ)cos(θ),3sin(2θ)sin(θ))

amb θ[0,π2].

imagen

Ara prenem el camp vectorial F(x,y)=(0,x) i integrem el camp al llarg de la corba α(θ). Calculem, doncs: α(θ)=(6cos(2θ)cos(θ)3sin(2θ)sin(θ),6cos(2θ)sin(θ)3sin(2θ)cos(θ))

i tenim:

Àrea=D1 dx dy=CF dr=0π2F(α(t))α(t) dt=0π2(0,3sin(2t)sin(t))(6cos(2t)cos(t)3sin(2t)sin(t),6cos(2t)sin(t)3sin(2t)cos(t)) dt=0π23sin(2t)cos(t)(6cos(2t)sin(t)3sin(2t)cos(t)) dt=180π2cos(t)cos(2t)sin(t)sin(2t) dt+90π2sin2(2t)cos2(2t) dt=90π2sin2(2t)cos(2t) dt+90π2sin2(2t)(1+cos2(2t)2) dt=92[sin3(2t)3)]0π2+920π21cos(4t)2 dt+920π2sin2(2t)cos(2t) dt=98π