Exercicis de Càlcul d'àrees del pla a partir del teorema de Green

Desenvolupament:

L'àrea que volem trobar és la dibuixada en el següent gràfic:

Aquest és un clar exemple de la utilitat del teorema de Green per a calcular àrees de regions limitades per corbes. A més, el problema ja ens dóna la parametrització de la corba. Com a camp vectorial agafarem $F(x,y)=(0,x)$.

D'aquesta manera: $$\text{Àrea}={\iint }_{D}1dxdy={\iint }_D(Q_x-P_y)dxdy={\int }_{C}Fdr={\int }_0^{2\pi }F(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t)dt$$

Calculem, doncs,

$${\gamma }^{\prime }(t)=(-3a{\cos }^2(t)\sin (t),3a{\sin }^2(t)\cos (t))$$

Així:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{C}Fdr=& {\int }_0^{2\pi }F(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t)dt\\ =& {\int }_0^{2\pi }(0,a{\cos }^3(t))\cdot (-3a{\cos }^2(t)\sin (t),3a{\sin }^2(t)\cos (t))dt\\ =& {\int }_0^{2\pi }3a^2{\sin }^2(t){\cos }^4(t)dt=3a^2{\int }_0^{2\pi }({\displaystyle \frac{1-\cos (2t)}{2}})({\displaystyle \frac{1+\cos (2t)}{2}}{)}^{2}dt\\ =& {\displaystyle \frac{3a^2}{8}}{\int }_0^{2\pi }(1+\cos (2t))(1-{\cos }^2(2t))dt\\ =& {\displaystyle \frac{3a^2}{8}}{\int }_0^{2\pi }(1-{\cos }^2(2t)+\cos (2t)-{\cos }^3(2t))dt\\ =& {\displaystyle \frac{3a^2}{8}}{\int }_0^{2\pi }(1-{\displaystyle \frac{1+\cos (4t)}{2}}+\cos (2t)-\cos (2t)+\cos (2t){\sin }^2(2t))dt\\ =& {\displaystyle \frac{3a^2}{8}}{\int }_0^{2\pi }{\displaystyle \frac{1}{2}}dt={\displaystyle \frac{3a^2\pi }{8}}\end{array}$$

Solució:

$\text{Àrea}={\displaystyle \frac{3a^2\pi }{8}}$

Amagar desenvolupament i solució