Exercicis de Càlcul d'àrees del pla a partir del teorema de Green

Calcular l'àrea delimitada per la corba tancada anomenada asteroide, parametritzada per: γ(t)=(acos3(t),asin3(t))t[0,2π]

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

L'àrea que volem trobar és la dibuixada en el següent gràfic:

imagen

Aquest és un clar exemple de la utilitat del teorema de Green per a calcular àrees de regions limitades per corbes. A més, el problema ja ens dóna la parametrització de la corba. Com a camp vectorial agafarem F(x,y)=(0,x).

D'aquesta manera: Àrea=D1 dx dy=D(QxPy) dx dy=CF dr=02πF(γ(t))γ(t) dt

Calculem, doncs,

γ(t)=(3acos2(t)sin(t),3asin2(t)cos(t))

Així:

CF dr=02πF(γ(t))γ(t) dt=02π(0,acos3(t))(3acos2(t)sin(t),3asin2(t)cos(t)) dt=02π3a2sin2(t)cos4(t) dt=3a202π(1cos(2t)2)(1+cos(2t)2)2 dt=3a2802π(1+cos(2t))(1cos2(2t)) dt=3a2802π(1cos2(2t)+cos(2t)cos3(2t)) dt=3a2802π(11+cos(4t)2+cos(2t)cos(2t)+cos(2t)sin2(2t)) dt=3a2802π12 dt=3a2π8

Solució:

Àrea=3a2π8

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria