Àrees definides sota una funció

Exemple

Calculem l'àrea sota la funció $f(x)=x^2$ en l'interval $[-2,2]$. Representem la funció per tenir una noció geomètrica del problema:

Hem d'integrar la funció en l'interval que delimita l'àrea, és a dir: $$A={\int }_{-2}^2{x}^{2}dx=[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}{]}_{-2}^2={\displaystyle \frac{2^3}{3}}-{\displaystyle \frac{(-2{)}^3}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}-{\displaystyle \frac{-8}{3}}={\displaystyle \frac{16}{3}}{\mathrm{u}}^2$$

Nota: Quan escrivim $u^2$ ens referim a les unitats de superfície.

Exemple

Calculem l'àrea sota la funció $f(x)=\sqrt{x}+\sin x$ en l'interval $[0,4]$. Tal com hem fet en l'exemple anterior, dibuixem primer la funció:

Per calcular l'àrea sota $f(x)$, hem d'integrar aquesta funció en l'interval corresponent: $$\begin{array}{rl}A=& {\int }_0^4(\sqrt{x}+\sin (x))dx={\int }_0^4\sqrt{x}dx+{\int }_0^4\sin (x)dx\\ =& {\left[{\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{2}}}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}\right]}_0^4+[-\cos (x){]}_0^4={\displaystyle \frac{2}{3}}(8-0)-\cos (4)+1\\ =& {\displaystyle \frac{16}{3}}+1.65=6.98u^2\end{array}$$