Ejercicios de Cálculo de volúmenes a partir del teorema de Gauss

Desarrollo:

Utilizaremos el teorema de Gauss. Primero debemos parametrizar la superficie. Inspirándonos en las coordenadas esféricas, tomamos:

$$\begin{array}{l}x=a\sin \theta \cos \phi \\ y=b\sin \theta \sin \phi \\ z=c\cos \theta \end{array}\begin{array}{l}\theta \in [0,\pi ]\\ \phi \in [0,2\pi ]\end{array}$$

Calculemos los vectores derivadas y su producto vectorial:

$$\begin{array}{l}{r}_{\theta }=(a\cos \theta \cos \phi ,b\sin \phi \cos \theta ,-c\sin \phi )\\ r_{\phi }=(-a\sin \theta \sin \phi ,b\sin \theta \cos \phi ,0)\end{array}\}\Rightarrow$$

$$\begin{array}{rl}\Rightarrow r_{\theta }\times r_{\phi }=& \left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a\cos \theta \cos \phi & b\sin \phi \cos \theta & -c\sin \phi \\ -a\sin \theta \sin \phi & b\sin \theta \cos \phi & 0\end{array}\right|\\ =& (b\cdot c\cdot {\sin }^2\theta \cos \phi ,a\cdot c\cdot {\sin }^2\theta \sin \phi ,a\cdot b\cdot \sin \theta \cos \theta )\end{array}$$

Tomando como campo vectorial $F(x,y,z)=(0,0,z)$, tenemos:

$$\begin{array}{rl}\text{Vol}(E)=& {\iiint }_{E}1dxdydz={\iiint }_E\text{div}(0,0,z)dxdydz={\int }_S(0,0,z)d\overrightarrow{S}\\ =& {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }(0,0,c\cos \theta )\cdot (bc{\sin }^2\theta \cos \phi ,ac{\sin }^2\theta \sin \phi ,ab\sin \theta \cos \theta )d\phi d\theta \\ =& {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }c\cos \theta ab\sin \theta \cos \theta d\phi d\theta =abc{\int }_0^{\pi }{\cos }^2\theta \sin \theta ({\int }_0^{2\pi }d\phi )d\theta \\ =& abc2\pi {\int }_0^{\pi }{\cos }^2\theta \sin \theta d\theta =2\pi abc[{\displaystyle \frac{-{\cos }^3\theta }{3}}{]}_0^{\pi }={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi abc\end{array}$$

Solución:

El volumen de la elipsoide es $\text{Vol}(E)={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi abc$

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