Calcular la integral de la función $$f(x,y)=x^2+y^2$$ sobre la región con forma de sector de ángulo $$45$$ grados y con radio entre $$1$$ y $$2$$.
Desarrollo:
Tomamos como nuevas variables las coordenadas polares: $$$\begin{array}{l} u(x,y)=r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \\ v(x,y)=\theta(x,y)=\arctan\Big(\dfrac{y}{x}\Big)\end{array}$$$ o lo que es lo mismo: $$$\begin{array}{l} x=r\cdot\cos\theta \\ y=r\cdot\sin\theta \end{array}$$$ Entonces $$J=\begin{bmatrix} \cos\theta & -r\cdot\sin\theta \\ \sin\theta & r\cdot\cos\theta \end{bmatrix}$$ y $$|J|=r$$.
Observando el dibujo, podemos ver que la nueva región de integración es $$\begin{array}{c} r\in[1,2] \\ \theta\in[0,\pi/4] \end{array}$$ y $$\widehat{f}(r,\theta)=r^2$$.
Así: $$$\int_R (x^2+y^2) \ dxdy = \int_0^{\pi/4}\int_1^2 r^2\cdot r\cdot drd\theta=\int_0^{\pi/4}\int_1^2 r^3drd\theta$$$ $$$\int_0^{\pi/4} \Big[\dfrac{r^4}{4}\Big]_1^2 \ d\theta=\int_0^{\pi/4} \dfrac{15}{4}d\theta=\dfrac{15}{16}\pi$$$
Solución:
$$\displaystyle \int_R (x^2+y^2) \ dxdy = \dfrac{15}{16}\pi$$