Cambios de variables en integrales dobles

Hay muchos casos en los que con las variables $x$ e $y$ no sabremos resolver la integral, ya sea por su función a integrar, o por la complicación de la expresión del intervalo de integración.

En esos casos, buscaremos cambios de variables que nos faciliten la resolución del problema.

El cambio de variable con $2$ variables se realiza de forma parecida al de una variable, con el siguiente procedimiento:

• Dadas $x$ e $y$ las variables iniciales, escoger las funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$, las nuevas variables del sistema, que preferiblemente nos den un recinto de integración más fácil.

• Calcular la Matriz Jacobiana de la expresión de las coordenadas antiguas en función de las nuevas:${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\frac{dx}{du}& \frac{dx}{dv}\\ \frac{dy}{du}& \frac{dy}{dv}\end{array}\right]}$, y calcular el valor absoluto de su determinante ${\displaystyle |J|=ABS\left(\left|\left[\begin{array}{cc}\frac{dx}{du}& \frac{dx}{dv}\\ \frac{dy}{du}& \frac{dy}{dv}\end{array}\right]\right|\right)}$

• Calcular la región de integración en las nuevas variables $u$, $v$ (que llamaremos $\hat{R}$ ), ya sea a partir de la expresión analítica o a partir del dibujo de la región. Calcular también la función $f(x,y)$ en función de $u$, $v$. La llamaremos $\hat{f}(u,v)$.

• ${\displaystyle {\int }_{R}f(x,y)dxdy={\int }_{\hat{R}}\hat{f}(u,v)\cdot |J|dudv}$