Integral a lo largo de una curva

Sea $C$ una curva, parametrizada por $\gamma (t)$ en el intervalo $[a,b]$, y una función $f$ definida en este interval, entonces:

Si $f$ es un campo escalar (es decir, si $f(x,y,z)$ pertenece a los números reales). Entonces: $${\displaystyle {\int }_{C}f\cdot dL={\int }_a^{b}f(\gamma (t))||{\gamma }^{\prime }(t)||dt}$$

Es decir, la integral de $f$ a lo largo de la curva $C$ es la integral entre $a$ y $b$ de la función compuesta con la parametrización, multiplicada por la norma de la derivada de la parametrización.

Procedimiento

1. Tomar la parametrización de la superficie $C$, calcular la derivada de ésta, y la norma de la derivada.
2. Sustituir $x$, $y$ y $z$ por $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$ en la función $f$, de acuerdo con la parametrización dada.
3. Calcular la integral resultante.

Si $F$ es un campo vectorial $F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$. Entonces, $${\displaystyle {\int }_{C}F\cdot dL={\int }_a^{b}F(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t)dt}$$

es decir, la integral de $f$ a lo largo de la curva $C$ es la integral entre $a$ y $b$ de la función compuesta con la parametrización, haciendo el producto escalar con la derivada de la parametrización.

Procedimiento

1. Tomar la parametrización de la superficie $C$ y calcular la derivada de ésta.
2. Sustituir $x$, $y$ y $z$ por $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$ en la función $f$, de acuerdo con la parametrización dada.
3. Calcular el producto escalar de los resultados de los pasos 1 y 2.
4. Calcular la integral resultante.