Un tipo de integral que nos podemos encontrar son aquellas integrales de una fracción polinómica.
Ejemplo
De modo más general, las integrales de la forma
En el caso en que grado
Descomposición en fracciones simples
Para descomponer una fracción polinómica en fracciones simples, primero debemos factoritzar en polinomis de grado
Luego, igualamos la función a una suma de términos: dada
Así, tomamos la igualdad siguiente:
A continuación, realizamos la suma de todas esas funciones polinómicas, a partir del denominador común, e igualamos ésta suma a la fracción polinómica inicial, igualando los coeficientes de cada grado del numerador.
Una vez obtenidos los coeficientes, tenemos el integrando en forma de términos cuya integral será un logaritmo o arcotangente.
Procedimiento a seguir
- Asegurar que el grado del numerador es mayor que el del denominador. En caso contrario, separar la fracción realizando la división de polinomios.
- Descomponer en factores el polinomio denominador, sea por Ruffini o por cualquier otro método.
- Escribir la fracción polinómica en forma de suma de fracciones como se ha descrito anteriormente, obteniendo varias constantes incógnitas.
- Sacar factor común de los denominadores, y obtener un sistema de ecuaciones al igualar los términos del mismo grado.
- Resolver el sistema de ecuaciones, obteniendo las constantes.
- Escribir la integral como suma de integrales de fracciones de grado 1 o 2, y resolverla, teniendo en cuenta que:
Ejemplo
Tenemos, en este caso,
Y operando, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Y, por lo tanto,
Ejemplo
Realizando el proceso por pasos, tenemos que:
- El grado del numerador es mayor, con lo que hacemos la división polinómica, obteniendo el resultado de:
por lo que
y calcularemos:
- Descomponiendo, tenemos:
y, por lo tanto, tenemos:
- Del sistema de ecuaciones anterior, podemos obtener: