Sea $$S$$ una superfície parametrizada por la función $$\varphi (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$, y $$f$$ una función definida en todos los puntos de la superficie, entonces:
Si $$f$$ es un campo escalar (es decir, si $$f (x, y, z)$$ pertenece a los números reales)
Entonces,$$$\displaystyle \int_S f\cdot dL=\int_D f(\varphi(u,v)) \cdot ||T_u \times T_v|| \ dudv$$$
donde, $$$\displaystyle \begin{array}{l} T_u=\Big( \frac{d}{du} x(u,v), \frac{d}{du}y(u,v), \frac{d}{du}z(u,v) \\ T_v=\Big( \frac{d}{dv} x(u,v), \frac{d}{dv}y(u,v), \frac{d}{dv}z(u,v) \Big)\end{array}$$$
y $$D$$ es una región del plano real donde $$\varphi$$ está definida.
Si $$F$$ es un campo vectorial, $$F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$$
entonces, $$$\displaystyle \int_S F \cdot dS=\int_Df(\varphi(u,v)) \cdot (T_u \times T_v) \ dudv$$$ Es decir, la integral de $$F$$ en la superficie $$S$$ es el producto escalar de la función, compuesta con la parametrización, por el producto vectorial de los vectores $$T_u$$ y $$T_v$$.
Procedimiento:
- Tomar la parametrización de la superficie $$S$$, y calcular sus vectores $$T_u$$, $$T_v$$. Con ellos hacer el producto vectorial.
- Sustituir $$x$$, $$y$$ y $$z$$ by $$x (u, v)$$, $$y(u, v)$$ y $$z (u, v)$$ en la función $$F$$, de acuerdo con la parametrización dada.
- Calcular el producto escalar de los resultados de los pasos 1 y 2.
- Calcular la integral resultante.