Integral sobre una superficie

Sea $S$ una superfície parametrizada por la función $\phi (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, y $f$ una función definida en todos los puntos de la superficie, entonces:

Si $f$ es un campo escalar (es decir, si $f(x,y,z)$ pertenece a los números reales)

Entonces,$${\displaystyle {\int }_{S}f\cdot dL={\int }_{D}f(\phi (u,v))\cdot ||T_u\times T_v||dudv}$$

donde, $${\displaystyle \begin{array}{l}{T}_u=(\frac{d}{du}x(u,v),\frac{d}{du}y(u,v),\frac{d}{du}z(u,v)\\ T_v=(\frac{d}{dv}x(u,v),\frac{d}{dv}y(u,v),\frac{d}{dv}z(u,v))\end{array}}$$

y $D$ es una región del plano real donde $\phi$ está definida.

Si $F$ es un campo vectorial, $F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$

entonces, $${\displaystyle {\int }_{S}F\cdot dS={\int }_{D}f(\phi (u,v))\cdot (T_u\times T_v)dudv}$$ Es decir, la integral de $F$ en la superficie $S$ es el producto escalar de la función, compuesta con la parametrización, por el producto vectorial de los vectores $T_u$ y $T_v$.

Procedimiento:

1. Tomar la parametrización de la superficie $S$, y calcular sus vectores $T_u$, $T_v$. Con ellos hacer el producto vectorial.
2. Sustituir $x$, $y$ y $z$ by $x(u,v)$, $y(u,v)$ y $z(u,v)$ en la función $F$, de acuerdo con la parametrización dada.
3. Calcular el producto escalar de los resultados de los pasos 1 y 2.
4. Calcular la integral resultante.