Integral sobre una superfície

Sigui $S$ una superfície parametritzada per la funció $\phi (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, i $f$ una funció definida en tots els punts de la superfície, llavors:

Si $f$ és un camp escalar (és a dir, si $f(x,y,z)$ pertany als nombres reals)

Llavors,$${\displaystyle {\int }_{S}f\cdot dL={\int }_{D}f(\phi (u,v))\cdot ||T_u\times T_v||dudv}$$

on, $${\displaystyle \begin{array}{l}{T}_u=(\frac{d}{du}x(u,v),\frac{d}{du}y(u,v),\frac{d}{du}z(u,v)\\ T_v=(\frac{d}{dv}x(u,v),\frac{d}{dv}y(u,v),\frac{d}{dv}z(u,v))\end{array}}$$

i $D$ és una regió del pla real on està definida $\phi$.

Si $F$ és un camp vectorial, $F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$

Llavors, $${\displaystyle {\int }_{S}F\cdot dS={\int }_{D}f(\phi (u,v))\cdot (T_u\times T_v)dudv}$$ És a dir, la integral de $F$ a la superfície $S$ és el producte escalar de la funció, composta amb la parametrització, pel producte vectorial dels vectors $T_u$ i $T_v$.

Procediment:

1. Prendre la parametrització de la superfície $S$, i calcular els seus vectors $T_u$, $T_v$. Amb ells fer el producte vectorial.
2. Substituir $x$, $y$ i $z$ per $x(u,v)$, $y(u,v)$ i $z(u,v)$ en la funció $F$, d'acord amb la parametrització donada.
3. Calcular el producte escalar dels resultats dels passos 1 i 2.
4. Calculeu la integral resultant.