Sigui $$S$$ una superfície parametritzada per la funció $$\varphi (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$, i $$f$$ una funció definida en tots els punts de la superfície, llavors:
Si $$f$$ és un camp escalar (és a dir, si $$f (x, y, z)$$ pertany als nombres reals)
Llavors,$$$\displaystyle \int_S f\cdot dL=\int_D f(\varphi(u,v)) \cdot ||T_u \times T_v|| \ dudv$$$
on, $$$\displaystyle \begin{array}{l} T_u=\Big( \frac{d}{du} x(u,v), \frac{d}{du}y(u,v), \frac{d}{du}z(u,v) \\ T_v=\Big( \frac{d}{dv} x(u,v), \frac{d}{dv}y(u,v), \frac{d}{dv}z(u,v) \Big)\end{array}$$$
i $$D$$ és una regió del pla real on està definida $$\varphi$$.
Si $$F$$ és un camp vectorial, $$F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$$
Llavors, $$$\displaystyle \int_S F \cdot dS=\int_Df(\varphi(u,v)) \cdot (T_u \times T_v) \ dudv$$$ És a dir, la integral de $$F$$ a la superfície $$S$$ és el producte escalar de la funció, composta amb la parametrització, pel producte vectorial dels vectors $$T_u$$ i $$T_v$$.
Procediment:
- Prendre la parametrització de la superfície $$S$$, i calcular els seus vectors $$T_u$$, $$T_v$$. Amb ells fer el producte vectorial.
- Substituir $$x$$, $$y$$ i $$z$$ per $$x (u, v)$$, $$y(u, v)$$ i $$z (u, v)$$ en la funció $$F$$, d'acord amb la parametrització donada.
- Calcular el producte escalar dels resultats dels passos 1 i 2.
- Calculeu la integral resultant.