Integral indefinida

Sabem alguns aspectes sobre la derivació d'una funció: si $F(x)$ és una funció, denotem $F^{\prime }(x)$ a la seva derivada. El problema que abordem ara és el problema invers, és a dir, a partir d'una derivada, anomenem-la $f(x)$, trobar quina funció $F(x)$ té com a derivada a $f(x)$. És a dir, $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Altrament, escriurem ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)}$, que vol dir que $f(x)$ és la derivada de $F(x)$ respecte a la variable $x$. Llavors, $F(x)$ és la integral indefinida, funció primitiva, o antiderivada de $f(x)$.

Observem que escrivim el símbol ${\displaystyle \int }$ per dir que estem integrant, i $dx$ per fer notar sobre quina variable estem integrant. En alguns casos podria ometre's aquest $dx$ però per no causar confusions cal escriure'l sempre.

Vegem ara algunes propietats importants de la integral indefinida:

• Sabem que la derivada d'una constant $C$ és ${\displaystyle \frac{d}{dx}}C=0$. Per tant, donada $f(x)$, tenim una funció primitiva ${\displaystyle \frac{d}{dx}}F(x)=F^{\prime }(x)=f(x)$, però llavors també $F(x)+C$ és una primitiva vàlida perquè sabem que ${\displaystyle \frac{d}{dx}}(F(x)+C)=f(x)$. Per tant, la primitiva o antiderivada d'una funció no és única. I al calcular sempre donarem el resultat com: ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$, on $C$ es diu constant d'integració. Notem que no s'ha d'oblidar mai aquesta constant.

• La integral, així com la derivada, compleix les propietats de linealitat , és a dir:

  • ${\displaystyle \int k\cdot f(x)dx=k\cdot \int f(x)dx}$
  • ${\displaystyle \int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}$