Canvis de variables en integrals dobles

Hi ha molts casos en que amb les variables $x$ i $y$ no sabrem resoldre la integral, ja sigui per la seva funció a integrar, o per la complicació de l'expressió de l'interval d'integració.

En aquests casos, buscarem canvis de variables que ens facilitin la resolució del problema.

El canvi de variable amb $2$ variables es realitza de forma semblant al d'una variable, amb el següent procediment:

• Donades $x$ i $y$ les variables inicials, escollir les funcions $u(x,y)$ i $v(x,y)$, les noves variables del sistema, que preferiblement ens donin un recinte d'integració més fàcil.

• Calcular la matriu jacobiana de l'expressió de les coordenades antigues en funció de les noves:${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\frac{dx}{du}& \frac{dx}{dv}\\ \frac{dy}{du}& \frac{dy}{dv}\end{array}\right]}$, i calcular el valor absolut del seu determinant ${\displaystyle |J|=ABS\left(\left|\left[\begin{array}{cc}\frac{dx}{du}& \frac{dx}{dv}\\ \frac{dy}{du}& \frac{dy}{dv}\end{array}\right]\right|\right)}$

• Calcular la regió d'integració en les noves variables $u$, $v$ (que anomenarem $\hat{R}$ ), ja sigui a partir de l'expressió analítica o a partir del dibuix de la regió. Calculeu també la funció $f(x,y)$ en funció de $u$, $v$ que anomenarem $\hat{f}(u,v)$.

• ${\displaystyle {\int }_{R}f(x,y)dxdy={\int }_{\hat{R}}\hat{f}(u,v)\cdot |J|dudv}$