Hi ha molts casos en que amb les variables $$x$$ i $$y$$ no sabrem resoldre la integral, ja sigui per la seva funció a integrar, o per la complicació de l'expressió de l'interval d'integració.
En aquests casos, buscarem canvis de variables que ens facilitin la resolució del problema.
El canvi de variable amb $$2$$ variables es realitza de forma semblant al d'una variable, amb el següent procediment:
-
Donades $$x$$ i $$y$$ les variables inicials, escollir les funcions $$u(x, y)$$ i $$v(x, y)$$, les noves variables del sistema, que preferiblement ens donin un recinte d'integració més fàcil.
-
Calcular la matriu jacobiana de l'expressió de les coordenades antigues en funció de les noves:$$\displaystyle \begin{bmatrix} \frac{dx}{du} & \frac{dx}{dv} \\ \frac{dy}{du} & \frac{dy}{dv} \end{bmatrix}$$, i calcular el valor absolut del seu determinant $$\displaystyle |J|=ABS\left(\left|\begin{bmatrix} \frac{dx}{du} & \frac{dx}{dv} \\ \frac{dy}{du} & \frac{dy}{dv}\end{bmatrix}\right|\right)$$
-
Calcular la regió d'integració en les noves variables $$u$$, $$v$$ (que anomenarem $$\widehat {R}$$ ), ja sigui a partir de l'expressió analítica o a partir del dibuix de la regió. Calculeu també la funció $$f (x, y)$$ en funció de $$u$$, $$v$$ que anomenarem $$\widehat{f}(u,v)$$.
- $$\displaystyle \int_R f(x,y) \ dxdy=\int_{\widehat{R}} \widehat{f}(u,v)\cdot |J| \ dudv$$