Teorema de Green, teorema de Gauss i teorema de Stokes

Teorema de Green

Sigui $F(x,y)=(F_x(x,y),F_y(x,y))$ una funció diferenciable de dues variables en el pla, i sigui $D$ una regió del pla real. Sigui $C$ la frontera de $D$.

Llavors:$${\displaystyle {\int }_{C}f\cdot dL={\int }_D(\frac{d}{dx}{F}_y-\frac{d}{dy}{F}_x)dxdy}$$

Teorema de Gauss

Sigui $V$ un volum tancat en l'espai, i $S$ la seva frontera parametritzada (és a dir, la seva "pell"), llavors, si $F:V\subset {\mathbb{R}}^3⟶{\mathbb{R}}^3$ , és una funció diferenciable en $V$, $${\displaystyle {\int }_{S}F\cdot dS={\int }_{V}div(F)\cdot dxdydz}$$ Amb aquest teorema, podem convertir complicades integrals de superfícies, en integrals de volums.

Procediment

1. Calcular $div(F)$
2. Trobar la regió d'integració $V$ (un volum, és a dir, $3$ variables)
3. Calculeu la integral amb $3$ variables.

Teorema de Stokes

Sigui $S$ una superfície de l'espai i $C$ la seva frontera (o límits), i sigui $F:S\subset {\mathbb{R}}^3⟶{\mathbb{R}}^3$ una funció diferenciable en $S$, llavors $${\displaystyle {\int }_{C}F\cdot dL={\int }_{S}rot(F)\cdot dS}$$

Aquest teorema ens pot resoldre problemes d'integració quan la corba en què hem d'integrar és complicada.

També ens diu que si $F$ té rotacional $0$ a $S$, llavors la seva integral al llarg de la corba $C$ val zero.

Procediment

1. Trobar la regió d'integració $S$ parametritzada (una superfície, és a dir, $2$ variables).
2. Calcular $rot(F)$.
3. Calculeu la integral de $2$ variables del rotacional de $F$.