Teorema de Green
Sigui $$F(x,y)=(F_x(x,y),F_y(x,y))$$ una funció diferenciable de dues variables en el pla, i sigui $$D$$ una regió del pla real. Sigui $$C$$ la frontera de $$D$$.
Llavors:$$$\displaystyle \int_C f\cdot dL=\int_D(\frac{d}{dx}F_y-\frac{d}{dy}F_x) \ dxdy$$$
Teorema de Gauss
Sigui $$V$$ un volum tancat en l'espai, i $$S$$ la seva frontera parametritzada (és a dir, la seva "pell"), llavors, si $$F:V \subset \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$$ , és una funció diferenciable en $$V$$, $$$\displaystyle \int_S F \cdot dS=\int_V div(F)\cdot dxdydz$$$ Amb aquest teorema, podem convertir complicades integrals de superfícies, en integrals de volums.
Procediment
- Calcular $$div (F)$$
- Trobar la regió d'integració $$V$$ (un volum, és a dir, $$3$$ variables)
- Calculeu la integral amb $$3$$ variables.
Teorema de Stokes
Sigui $$S$$ una superfície de l'espai i $$C$$ la seva frontera (o límits), i sigui $$F:S \subset \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$$ una funció diferenciable en $$S$$, llavors $$$\displaystyle \int_C F \cdot dL=\int_S rot(F) \cdot dS$$$
Aquest teorema ens pot resoldre problemes d'integració quan la corba en què hem d'integrar és complicada.
També ens diu que si $$F$$ té rotacional $$0$$ a $$S$$, llavors la seva integral al llarg de la corba $$C$$ val zero.
Procediment
- Trobar la regió d'integració $$S$$ parametritzada (una superfície, és a dir, $$2$$ variables).
- Calcular $$rot (F)$$.
- Calculeu la integral de $$2$$ variables del rotacional de $$F$$.