Integració per parts

Si $u (x)$ i $v (x)$ per les regles de derivació sabem que $d (u \cdot v) = u \cdot d v + v \cdot d u$ integrant $u \cdot v = \int u \cdot d v + \int v \cdot d u$

i, per tant, $\int u \cdot d v = u \cdot v - \int v \cdot d u$

Aquesta és la fórmula d'integració per parts i ens servirà per calcular moltes integrals i, encara que pugui semblar difícil, és recomanable la seva memorització.

Per poder triar millor quina part prendre com $u (x)$ i quina part com $v (x)$ al pensar que la integral que ens quedarà després serà la integral de $v (x) \cdot u^{'} (x)$ . És a dir, el terme que prenem com a derivada, després anirà integrat i l'altre anirà derivat. De vegades no escriurem la variable $x$ , encara que sempre la tindrem en compte. Hem de recordar que $d v = v^{'} (x) \cdot d x$ i que $d u = u^{'} (x) \cdot d x$ .

El procediment a seguir és el següent:

Escollir les funcions $u$ i $d v$ .
Calcular $d u$ i $v$ .
Utilitzar la fórmula i trobar el valor de la integral.

Exemple

$\int x \cdot e^{x} d x$

En aquest cas,

$\begin{array}{ll} u = x & d u = 1 \cdot d x \\ d v = e^{x} d x & v = \int e^{x} d x = e^{x} \end{array}$

per la qual cosa:

$\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$

En intentar fer una integral per parts, com es pot veure, sempre s'ha de resoldre una altra integral. L'essència de les integrals per parts és que aquesta nova integral sigui més fàcil que l'anterior. Tot i així, poden haver-se de fer diversos passos d'integració per parts per resoldre una integral.

Podem trobar-nos amb que, després de diversos passos, tornem a tenir la mateixa integral inicial. En aquest cas, anomenarem $I$ a la integral i resoldrem l'equació obtinguda en termes de $I$ .

Exemple

Integral per parts en $2$ passos. $\int x^{2} e^{x} d x$

Prenem, en aquest cas

$\begin{array}{ll} u = x^{2} & d u = 2 x \cdot d x \\ d v = e^{x} d x & v = \int e^{x} d x = e^{x} \end{array}$

per la qual cosa:

$\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x \cdot e^{x} d x$ amb la nova integral ja calculada en l'exemple $1$ .

Prenent les mateixes funcions $\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int e^{x} d x = x \cdot e^{x} - e^{x}$ , i podem substituir el valor d'aquesta integral per a obtenir:

$\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x = x^{2} e - 2 (x e^{x} - e^{x}) + C = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + C$

Exemple

$\int \sin^{2} x d x$

Aquesta integral es pot calcular de diverses maneres (No és una integral immediata, manca la derivada!).

Per realitzar aquesta integral per parts, prendrem

$\begin{array}{ll} u = \sin x & d u = \cos x \cdot d x \\ d v = \sin x d x & v = \int \sin x d x = - \cos x \end{array}$

Així, ens queda:

$\int \sin^{2} x d x = - \sin x \cos x - \int \cos^{2} x d x = - \sin x \cdot c o s x + \int \cos^{2} x d x = = - \sin x \cos x + \int 1 - s i n^{2} x d x = - \sin x \cos x + x - \int \sin^{2} x d x$

On hem usat que $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ .

Així doncs, tornem a tenir la mateixa integral que inicialment.

$\sin^{2} x d x = - \sin x \cos x + x - \int \sin^{2} x d x$

Si aïllem $\int s i n^{2} x d x$ tindrem:

$2 \int s i n^{2} x d x = - \sin x \cos x + x \Rightarrow \int \sin^{2} x d x = - \frac{1}{2} \sin x \cos x + \frac{x}{2} + C$

Exemple

$\int \arctan x d x$

Aquesta integral pot semblar difícil, però podem prendre $u = a r c t g (x)$ i $d v = 1$ (sovint és molt útil el fet de prendre $d v = 1$ ).

Tenim llavors:

$\begin{array}{ll} u = \arctan x & d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x \\ d v = 1 d x & v = x \end{array}$

i així:

$\int \arctan c d x = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln | 1 + x^{2} |$

on $\int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$ és una integral quasi immediata.