Integral al llarg d'una corba

Sigui $C$ , parametritzada per $γ (t)$ en l'interval $[a, b]$ , i una funció $f$ definida en aquest interval, llavors:

Si $f$ és un camp escalar (és a dir, si $f (x, y, z)$ pertany als nombres reals). Llavors: $\int_{C} f \cdot d L = \int_{a}^{b} f (γ (t)) | | γ^{'} (t) | | d t$

És a dir, la integral de $f$ al llarg de la corba $C$ és la integral entre $a$ i $b$ de la funció formada amb la parametrització, multiplicada per la norma de la derivada de la parametrització.

Procediment

Prendre la parametrització de la superfície $C$ , calcular la derivada d'aquesta, i la norma de la derivada.
Substituir $x$ , $y$ i $z$ per $x (t)$ , $y (t)$ i $z (t)$ en la funció $f$ , d'acord amb la parametrització donada.
Calculeu la integral resultant.

Exemple

Calcular la integral de la funció $f (x, y, z) = z$ al llarg de la corba $γ (t) = (t \cos t, t \sin t, t)$ , que és una parametrització d'una espiral amb una forma semblant a un "tornado".

$γ^{'} (t) = (\cos t - t \sin t, \sin t + \cos t, 1)$ , $| | γ^{'} (t) | | = \sqrt{(\cos t - t \sin t)^{2} + (\sin t + t \cos t)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2 + t^{2}}$
$f (γ (t)) = t$
$\int_{0}^{2 π} f (γ (t)) | | γ^{'} (t) | | d t = \int_{0}^{2 π} t \cdot \sqrt{2 + t^{2}} d t = \frac{1}{3} [(2 + t^{2})^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2 π}$

Si $F$ és un camp vectorial $F (x, y, z) = (F_{1} (x, y, z), F_{2} (x, y, z), F_{3} (x, y, z))$ . Llavors, $\int_{C} F \cdot d L = \int_{a}^{b} F (γ (t)) \cdot γ^{'} (t) d t$

És a dir, la integral de $f$ al llarg de la corba $C$ és la integral entre $a$ i $b$ de la funció composta amb la parametrització, fent el producte escalar amb la derivada de la parametrització.

Procediment

Prendre la parametrització de la superfície $C$ i calcular la derivada d'aquesta.
Substituir $x$ , $y$ i $z$ per $x (t)$ , $y (t)$ i $z (t)$ en la funció $f$ , d'acord amb la parametrització donada.
Calcular el producte escalar dels resultats dels passos 1 i 2.
Calculeu la integral resultant.

Exemple

Calculeu la integral de $F (x, y, z) = (- x^{2}, - 3 \cdot x \cdot y + z, y)$ al llarg de la corba parametritzada per $γ (t) = (\cos t, \sin t, 2)$ , $t \in [0, 2 π]$

1) $γ^{'} (t) = (- \sin t, \cos t, 0)$

2) $F (γ (t)) = (- \cos^{2} t, - 3 \sin t \cdot \cos t + 2, \sin t)$

3) $F (γ (t)) \cdot γ^{'} (t) = (- \cos^{2} t, - 3 \cdot \sin t \cdot \cos t + 2, \sin t) \cdot (- \sin t, \cos t, 0) =$

$= \sin t \cdot c o s^{2} t - 3 \cdot \sin t \cdot c o s^{2} t = 2 \cdot c o s t - 2 \cdot c o s^{2} t \cdot \sin t$

4) $\int_{0}^{2 π} 2 \cdot \cos t - 2 \cdot \cos^{2} t \cdot \sin t d t = [- \frac{2}{3} c o s^{3} t + 2 \sin t]_{0}^{2 π} = \frac{2}{3} + 0 - (- \frac{2}{3}) - 0 = \frac{4}{3}$