Integrals quasi immediates

Una integral quasi immediata és una integral de la forma: $\int f (u (x)) \cdot u^{'} (x) d x$ on $f (x)$ és una funció i $u (x)$ és una altra funció, i $u^{'} (x)$ la seva derivada. Cal observar que és com aplicar el contrari a la regla de la cadena (recordem el tema sobre derivades).

És a dir, si tenim una funció $F (x)$ , la derivada és $f (x)$ , i canviem $x$ per una altra funció $u (x)$ , la derivada de $F (u (x))$ és $f (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ . Llavors, la integral de $f (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ serà $F (u (x))$ .

Una integral d'aquesta manera pot ser resolta com una integral immediata, com veurem en els següents exemples:

En el primer cas, veiem per exemple que tenim una integral immediata, excepte per una constant, llavors realitzem la integral multiplicant i dividint per aquesta constant, per tal de poder utilitzar aquesta "regla de la cadena", de la forma següent:

Exemple

$\int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} \int 3 c d o t e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ , doncs $3$ és la derivada de $3 x$ .

Exemple

$\int \cos 15 x d x = \frac{1}{15} \int 15 \cos 15 x d x = \frac{1}{15} s i n 15 x + C$ , doncs $15$ és la derivada de $15 x$ .

En altres casos, el procediment no resulta tan senzill, però el problema moltes vegades es redueix a trobar la manera de convertir la integral en una integral immediata, farem això a l'hora de resoldre una integral sempre que sigui possible:

Exemple

$\int \frac{1}{4 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{4}} = \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + (\frac{x}{2})^{2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{2}}{1 + (\frac{x}{2})^{2}} d x =$

$= \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C$ , on $\frac{1}{2}$ és la derivada de $\frac{x}{2}$ .

Exemple

$\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x = \int \frac{e^{x}}{1 + (e^{x})^{2}} d x = \arctan e^{x} + C$ , on $e^{x}$ és la derivada de $e^{x}$ .

Exemple

$\int \frac{\sin \sqrt{x^{3}}}{\sqrt{x^{3}}} \cdot x^{2} d x = \frac{2}{3} \int \sin \sqrt{x^{3}} \cdot \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}}} d x = - \frac{2}{3} \cos \sqrt{x^{3}} + C$ , doncs $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}}}$ és la derivada de $\sqrt{x^{3}}$ .

Exemple

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} d x = \arcsin e^{x} + C$ , on $e^{x}$ és la derivada de $e^{x}$ .

Exemple

$\int \sin x^{2} \cdot 2 x d x = - \cos x^{2} + C$ , on $2 x$ és la derivada de $x^{2}$ .

Exemple

$\int \sin^{2} x \cdot \cos x d x = \frac{\sin^{3} x}{3} + C$ doncs $\cos x$ és la derivada de $s i n x$ .

Formulari

\int f^{n} (x) \cdot f^{'} (x) d x = \frac{f^{n + 1} (x)}{n + 1} + C

, si

n \neq - 1

.

Casos particulars:

\int \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{f (x)}} d x = 2 \sqrt{f (x)} + C

\int a^{f (x)} f^{'} (x) d x = \frac{1}{\ln a} a^{f (x)} + C

\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \ln | f (x) | + C

Funcions trigonomètriques

\int \sin (f (x)) \cdot f^{'} (x) d x = - c o s f (x) + C

\int \cos f (x) \cdot f^{'} (x) d x = \sin f (x) + C

\int \frac{f^{'} (x)}{\cos^{2} f (x)} d x = \tan f (x) + C

\int \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{1 - f (x)^{2}}} d x = \arcsin f (x) + C

\int \frac{f^{'} (x)}{1 + f (x)^{2}} d x = \arctan f (x) + C

Funcions hiperbòliques

\int \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{(f^{'} (x))^{2} + 1}} d x = \sinh^{- 1} f (x) + C

\int \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{(f^{'} (x))^{2} - 1}} d x = \cosh^{- 1} f (x) + C

\int \frac{f^{'} (x)}{1 - f (x)^{2}} d x = \tanh^{- 1} f (x) + C