Una integral quasi immediata és una integral de la forma:$$$\displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \ dx$$$ on $$f (x)$$ és una funció i $$u(x)$$ és una altra funció, i $$u' (x)$$ la seva derivada. Cal observar que és com aplicar el contrari a la regla de la cadena (recordem el tema sobre derivades).
És a dir, si tenim una funció $$F(x)$$, la derivada és $$f(x)$$, i canviem $$x$$ per una altra funció $$u(x)$$, la derivada de $$F(u(x))$$ és $$f(u(x)) \cdot u' (x)$$. Llavors, la integral de $$f(u(x))\cdot u'(x)$$ serà $$F(u(x))$$.
Una integral d'aquesta manera pot ser resolta com una integral immediata, com veurem en els següents exemples:
En el primer cas, veiem per exemple que tenim una integral immediata, excepte per una constant, llavors realitzem la integral multiplicant i dividint per aquesta constant, per tal de poder utilitzar aquesta "regla de la cadena", de la forma següent:
$$\displaystyle \int e^{3x} \ dx = \frac{1}{3} \int 3 \ cdot e^{3x} \ dx = \frac{1}{3} e^{3x}+C$$, doncs $$3$$ és la derivada de $$3x$$.
$$\displaystyle \int \cos 15x \ dx = \frac{1}{15} \int 15 \cos 15x \ dx = \frac{1}{15} \ sin 15 x +C$$ , doncs $$15$$ és la derivada de $$15x$$.
En altres casos, el procediment no resulta tan senzill, però el problema moltes vegades es redueix a trobar la manera de convertir la integral en una integral immediata, farem això a l'hora de resoldre una integral sempre que sigui possible:
$$\displaystyle \int \frac{1}{4+x^2} \ dx = \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{4}}= \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+\Big(\frac{x}{2}\Big)^2} \ dx = \frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{2}}{1+\Big(\frac{x}{2}\Big)^2} \ dx =$$
$$= \dfrac {1}{2}\arctan \dfrac{x}{2}+C$$, on $$\dfrac{1}{2}$$ és la derivada de $$\dfrac{x}{2}$$.
$$\displaystyle \int \frac{e^x}{1+e^{2x}} \ dx = \int \frac{e^x}{1+(e^x) ^2} \ dx = \arctan e^x +C$$, on $$e^x$$ és la derivada de $$e^x$$.
$$\displaystyle \int \frac{\sin \sqrt{x^3}}{\sqrt{x^3}} \cdot x^2 \ dx = \frac{2}{3} \int \sin \sqrt{x^3} \cdot \frac{3x^2}{2\sqrt {x^3}} \ dx = -\frac{2}{3} \cos \sqrt{x^3} +C$$, doncs $$\frac{3 x^2}{2 \sqrt {x^3}}$$ és la derivada de $$\sqrt {x^3}$$.
$$\displaystyle \int \frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}} \ dx = \arcsin e^x+ C$$, on $$e^x$$ és la derivada de $$e^x$$.
$$\displaystyle \int \sin x^2 \cdot 2x \ dx = -\cos x^2+C$$, on $$2x$$ és la derivada de $$x^2$$.
$$\displaystyle \int \sin^2 x \cdot \cos x \ dx = \frac{\sin ^3 x}{3}+C$$ doncs $$\cos x$$ és la derivada de $$sin x$$.
|
Formulari |
|
$$\displaystyle \int f^n (x) \cdot f'(x) \ dx = \frac {f^{n+1}(x)}{n+1}+C$$, si $$n \neq -1$$. Casos particulars: $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} \ dx = 2\sqrt{f(x)}+C$$ $$\displaystyle \int a^{f(x)} f'(x) \ dx= \frac{1}{\ln a} a^{f(x)}+C$$ $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \ dx = \ln |f(x)| +C$$ |
|
Funcions trigonomètriques |
|
$$\displaystyle \int \sin (f(x)) \cdot f'(x) \ dx= -cos f(x) +C$$ $$\displaystyle \int \cos f(x) \cdot f'(x) \ dx= \sin f(x) +C$$ $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\cos^2 f(x)} \ dx = \tan f(x) +C$$ $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}} \ dx= \arcsin f(x)+C$$ $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{1+f(x)^2} \ dx = \arctan f(x) +C$$ |
| Funcions hiperbòliques |
|
$$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{(f'(x))^2+1}} \ dx= \sinh^{-1} f(x)+C$$ $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{(f'(x))^2-1}} \ dx= \cosh^{-1} f(x)+C$$ $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{1-f(x)^2} \ dx= \tanh^{-1} f(x)+C$$ |