Calcular la integral $$\displaystyle\int\dfrac {x \sin (x^2)}{1+ \cos^2 (x^2)} \ dx$$
Desenvolupament:
Seguirem el següent procediment:
- Observar de quin tipus d'integral quasi-immediata pot tractar-se, i identificar si estan tots els elements de la regla de la cadena.
Encara que aquesta integral pugui semblar molt complicada, si ens fixem en ella, podem veure en el denominador un element de la forma $$1+x^2$$, tenint $$\cos(x^2)$$ en lloc de $$x$$.
Això ens fa pensar en que potser es tracti d'una integral d'arctangent:
$$$\int\dfrac {x \sin (x^2)}{1+ \cos^2 (x^2)} \ dx=\int\dfrac {x \sin (x^2)}{1+ (\cos(x^2))^2} \ dx$$$
Ara bé, sabem que, $$\dfrac{d}{dx}(\cos(x^2))=-2\cdot x\cdot\sin(x^2)$$, així que només ens falta un $$-2$$ al numerador perquè aquest sigui la derivada de $$\cos(x^2)$$, per tant:
$$$\int\dfrac {x \sin (x^2)}{1+ (\cos(x^2))^2} \ dx= -\dfrac{1}{2}\int\dfrac{-2\cdot x \cdot\sin(x^2)}{1+(\cos(x^2))^2} \ dx$$$ que és una integral de l'arctangent de $$\cos(x^2)$$ amb la derivada d'aquesta multiplicant.
- Podem utilitzar la fórmula per calcular la integral: $$$-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{-2\cdot x \cdot\sin(x^2)}{1+(\cos(x^2))^2} \ dx= -\dfrac{1}{2}\cdot\arctan(\cos(x^2))+C$$$
Solució:
$$\displaystyle\int\dfrac {x \sin (x^2)}{1+ \cos^2 (x^2)} \ dx=-\dfrac{1}{2}\cdot\arctan(\cos(x^2))+C $$