Una integral casi inmediata es una integral de la forma:$$$\displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \ dx$$$ donde $$f (x)$$ es una función y $$u(x)$$ es otra función, y $$u' (x)$$ su derivada. Hay que observar que es como aplicar el contrario a la regla de la cadena (recordemos el tema sobre derivadas).
Es decir, si tenemos una función $$F(x)$$, cuya derivada es $$f(x)$$, y cambiamos $$x$$ por otra función $$u(x)$$, la derivada de $$F(u(x))$$ es $$f(u(x)) \cdot u' (x)$$. Entonces, la integral de $$f(u(x))\cdot u'(x)$$ será $$F(u(x))$$.
Una integral de esta forma puede ser resuelta como una integral inmediata, como veremos en los siguientes ejemplos:
En el primer caso, vemos por ejemplo que tenemos una integral inmediata, salvo por una constante, entonces realizamos la integral multiplicando y dividiendo por esa constante, para así poder usar esta "regla de la cadena":
$$\displaystyle \int e^{3x} \ dx = \frac{1}{3} \int 3 \ cdot e^{3x} \ dx = \frac{1}{3} e^{3x}+C$$, pues $$3$$ es la derivada de $$3x$$.
$$\displaystyle \int \cos 15x \ dx = \frac{1}{15} \int 15 \cos 15x \ dx = \frac{1}{15} \ sin 15 x +C$$ , pues $$15$$ es la derivada de $$15x$$.
En otros casos, el procedimiento no resulta tan sencillo, pero el problema muchas veces se reduce a encontrar la manera de convertir la integral en una integral inmediata, haremos esto a la hora de resolver una integral siempre que sea posible:
$$\displaystyle \int \frac{1}{4+x^2} \ dx = \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{4}}= \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+\Big(\frac{x}{2}\Big)^2} \ dx = \frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{2}}{1+\Big(\frac{x}{2}\Big)^2} \ dx =$$
$$= \dfrac {1}{2}\arctan \dfrac{x}{2}+C$$, donde $$\dfrac{1}{2}$$ es la derivada de $$\dfrac{x}{2}$$.
$$\displaystyle \int \frac{e^x}{1+e^{2x}} \ dx = \int \frac{e^x}{1+(e^x) ^2} \ dx = \arctan e^x +C$$, donde $$e^x$$ es la derivada de $$e^x$$.
$$\displaystyle \int \frac{\sin \sqrt{x^3}}{\sqrt{x^3}} \cdot x^2 \ dx = \frac{2}{3} \int \sin \sqrt{x^3} \cdot \frac{3x^2}{2\sqrt {x^3}} \ dx = -\frac{2}{3} \cos \sqrt{x^3} +C$$, pues $$\frac{3 x^2}{2 \sqrt {x^3}}$$ es la derivada de $$\sqrt {x^3}$$.
$$\displaystyle \int \frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}} \ dx = \arcsin e^x+ C$$, donde $$e^x$$ es la derivada de $$e^x$$.
$$\displaystyle \int \sin x^2 \cdot 2x \ dx = -\cos x^2+C$$, donde $$2x$$ es la derivada de $$x^2$$.
$$\displaystyle \int \sin^2 x \cdot \cos x \ dx = \frac{\sin ^3 x}{3}+C$$ pues $$\cos x$$ es la derivada de $$sin x$$.
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Formulario |
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$$\displaystyle \int f^n (x) \cdot f'(x) \ dx = \frac {f^{n+1}(x)}{n+1}+C$$, si $$n \neq -1$$. Casos particulares: $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} \ dx = 2\sqrt{f(x)}+C$$ $$\displaystyle \int a^{f(x)} f'(x) \ dx= \frac{1}{\ln a} a^{f(x)}+C$$ $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \ dx = \ln |f(x)| +C$$ |
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Funciones trigonométricas |
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$$\displaystyle \int \sin (f(x)) \cdot f'(x) \ dx= -cos f(x) +C$$ $$\displaystyle \int \cos f(x) \cdot f'(x) \ dx= \sin f(x) +C$$ $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\cos^2 f(x)} \ dx = \tan f(x) +C$$ $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}} \ dx= \arcsin f(x)+C$$ $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{1+f(x)^2} \ dx = \arctan f(x) +C$$ |
| Funciones hiperbólicas |
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$$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{(f'(x))^2+1}} \ dx= \sinh^{-1} f(x)+C$$ $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{(f'(x))^2-1}} \ dx= \cosh^{-1} f(x)+C$$ $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{1-f(x)^2} \ dx= \tanh^{-1} f(x)+C$$ |