Integrales casi inmediatas

Una integral casi inmediata es una integral de la forma: $\int f (u (x)) \cdot u^{'} (x) d x$ donde $f (x)$ es una función y $u (x)$ es otra función, y $u^{'} (x)$ su derivada. Hay que observar que es como aplicar el contrario a la regla de la cadena (recordemos el tema sobre derivadas).

Es decir, si tenemos una función $F (x)$ , cuya derivada es $f (x)$ , y cambiamos $x$ por otra función $u (x)$ , la derivada de $F (u (x))$ es $f (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ . Entonces, la integral de $f (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ será $F (u (x))$ .

Una integral de esta forma puede ser resuelta como una integral inmediata, como veremos en los siguientes ejemplos:

En el primer caso, vemos por ejemplo que tenemos una integral inmediata, salvo por una constante, entonces realizamos la integral multiplicando y dividiendo por esa constante, para así poder usar esta "regla de la cadena":

Ejemplo

$\int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} \int 3 c d o t e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ , pues $3$ es la derivada de $3 x$ .

Ejemplo

$\int \cos 15 x d x = \frac{1}{15} \int 15 \cos 15 x d x = \frac{1}{15} s i n 15 x + C$ , pues $15$ es la derivada de $15 x$ .

En otros casos, el procedimiento no resulta tan sencillo, pero el problema muchas veces se reduce a encontrar la manera de convertir la integral en una integral inmediata, haremos esto a la hora de resolver una integral siempre que sea posible:

Ejemplo

$\int \frac{1}{4 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{4}} = \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + (\frac{x}{2})^{2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{2}}{1 + (\frac{x}{2})^{2}} d x =$

$= \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C$ , donde $\frac{1}{2}$ es la derivada de $\frac{x}{2}$ .

Ejemplo

$\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x = \int \frac{e^{x}}{1 + (e^{x})^{2}} d x = \arctan e^{x} + C$ , donde $e^{x}$ es la derivada de $e^{x}$ .

Ejemplo

$\int \frac{\sin \sqrt{x^{3}}}{\sqrt{x^{3}}} \cdot x^{2} d x = \frac{2}{3} \int \sin \sqrt{x^{3}} \cdot \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}}} d x = - \frac{2}{3} \cos \sqrt{x^{3}} + C$ , pues $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}}}$ es la derivada de $\sqrt{x^{3}}$ .

Ejemplo

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} d x = \arcsin e^{x} + C$ , donde $e^{x}$ es la derivada de $e^{x}$ .

Ejemplo

$\int \sin x^{2} \cdot 2 x d x = - \cos x^{2} + C$ , donde $2 x$ es la derivada de $x^{2}$ .

Ejemplo

$\int \sin^{2} x \cdot \cos x d x = \frac{\sin^{3} x}{3} + C$ pues $\cos x$ es la derivada de $s i n x$ .

Formulario

\int f^{n} (x) \cdot f^{'} (x) d x = \frac{f^{n + 1} (x)}{n + 1} + C

, si

n \neq - 1

.

Casos particulares:

\int \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{f (x)}} d x = 2 \sqrt{f (x)} + C

\int a^{f (x)} f^{'} (x) d x = \frac{1}{\ln a} a^{f (x)} + C

\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \ln | f (x) | + C

Funciones trigonométricas

\int \sin (f (x)) \cdot f^{'} (x) d x = - c o s f (x) + C

\int \cos f (x) \cdot f^{'} (x) d x = \sin f (x) + C

\int \frac{f^{'} (x)}{\cos^{2} f (x)} d x = \tan f (x) + C

\int \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{1 - f (x)^{2}}} d x = \arcsin f (x) + C

\int \frac{f^{'} (x)}{1 + f (x)^{2}} d x = \arctan f (x) + C

Funciones hiperbólicas

\int \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{(f^{'} (x))^{2} + 1}} d x = \sinh^{- 1} f (x) + C

\int \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{(f^{'} (x))^{2} - 1}} d x = \cosh^{- 1} f (x) + C

\int \frac{f^{'} (x)}{1 - f (x)^{2}} d x = \tanh^{- 1} f (x) + C