Teorema de Green, teorema de Gauss y teorema de Stokes

Teorema de Green

Sea $F(x,y)=(F_x(x,y),F_y(x,y))$ una función diferenciable de dos variables en el plano, y sea $D$ una región del plano real. Sea $C$ la frontera de $D$.

Entonces:$${\displaystyle {\int }_{C}f\cdot dL={\int }_D(\frac{d}{dx}{F}_y-\frac{d}{dy}{F}_x)dxdy}$$

Teorema de Gauss

Sea $V$ un volumen cerrado en el espacio, y $S$ su frontera parametrizada (es decir, su "piel"), entonces, si $F:V\subset {\mathbb{R}}^3⟶{\mathbb{R}}^3$ , es una función diferenciable en $V$, $${\displaystyle {\int }_{S}F\cdot dS={\int }_{V}div(F)\cdot dxdydz}$$ Con este teorema, podemos convertir complicadas integrales de superfícies, en integrales de volúmenes.

Procedimiento

1. Calcular $div(F)$
2. Encontrar la región de integración $V$ (un volumen, es decir, $3$ variables)
3. Calcular la integral con $3$ variables.

Teorema de Stokes

Sea $S$ una superfície del espacio y $C$ su frontera (o límites), y sea $F:S\subset {\mathbb{R}}^3⟶{\mathbb{R}}^3$ una función diferenciable en $S$, entonces $${\displaystyle {\int }_{C}F\cdot dL={\int }_{S}rot(F)\cdot dS}$$

Este teorema nos puede resolver problemas de integración cuando la curva en la que tenemos que integrar es complicada.

También nos dice que si $F$ tiene rotacional $0$ en $S$, entonces su integral a lo largo de la curva $C$ es cero.

Procedimiento

1. Encontrar la región de integración $S$ parametrizada (una superficie, es decir, $2$ variables).
2. Calcular $rot(F)$.
3. Calcular la integral de $2$ variables del rotacional de $F$.