Ejercicios de Teorema de Green, teorema de Gauss y teorema de Stokes

Desarrollo:

Seguiremos el siguiente procedimiento:

• Primero debemos calcular la parametrización de la superfície.

$\sigma (x,y)=(x,y,{\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}})$, como $z\le 2$, tenemos que $x^2+y^2\le 4$, $(x,y)$ toman valores dentro de un círculo de radio $2$.

Por otro lado, la curva $C$ es la circunferencia a altura $z=2$, de radio $2$, como se puede observar en el dibujo, y su parametrización será $$\gamma (t)=(2\cdot \cos (t),2\cdot \sin (t),2),\text{ para }t\in [0,2\pi ]$$

• Calculamos $$rot(F)=({\displaystyle \frac{d}{dy}}{F}_3-{\displaystyle \frac{d}{dz}}{F}_2,{\displaystyle \frac{d}{dz}}{F}_1-{\displaystyle \frac{d}{dx}}{F}_3,{\displaystyle \frac{d}{dx}}{F}_2-{\displaystyle \frac{d}{dy}}{F}_2)=$$ $$=(z^2+x,0-0,-z-3)$$

• Calculamos ahora con lo que sabemos de Análisis Vectorial, $${\int }_{S}rot(F)dS={\int }_{S}rot(F(\sigma (x,y)))dS=$$ $$={\int }_S(({\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}}{)}^2+x,0,-{\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}}-3)\cdot (T_x\times T_y)dxdy$$ Donde $Tx=(1,0,x),Ty=(0,1,y)$, y por lo tanto, $T_x\times T_y=(-x,-y,1)$. Por lo que: $${\int }_{S}rot(F)dS=-{\int }_S(({\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}}{)}^2\cdot x+x^2+{\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}}+3)dxdy=$$ $$=\{\text{Pasando a coordenadas polares }(|J|=r)\}=$$ $$=-{\int }_0^2{\int }_0^{2\pi }({\displaystyle \frac{r^5}{4}}\cdot \cos (t)+r^2\cdot {\cos }^2(t)+{\displaystyle \frac{r^2}{2}}+3)\cdot r\cdot dtdr=$$ $$=\{\text{Usando que }{\cos }^2(t)={\displaystyle \frac{1+\cos (2t)}{2}}\}=$$ $$-{\int }_0^2{\int }_0^{2\pi }({\displaystyle \frac{r^6}{4}}\cdot \cos (t)+r^3\cdot {\displaystyle \frac{1+\cos (2t)}{2}}+{\displaystyle \frac{r^3}{2}}+3r)dtdr=$$ $$=\{\text{la integral del coseno entre }0\text{ y }2\pi \text{ vale cero}\}=$$ $$=-2\cdot [{\displaystyle \frac{r^4}{8}}{]}_0^2\cdot [t{]}_0^{2\pi }-3[{\displaystyle \frac{r^2}{2}}{]}_0^2\cdot [t{]}_0^{2\pi }=-20\pi$$

Calculamos ahora la integral con la parametrización de la curva $C$: $\gamma (t)=(2\cdot \cos (t),2\cdot \sin (t),2),\text{ para }t\in [0,2\pi ]$

$${\int }_{C}F\cdot dL={\int }_0^{2\pi }F(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t)dt={\int }_0^{2\pi }(6\sin (t),-4\cos (t),8\sin (t))\cdot (-2\sin (t),2\cos (t),0)dt=$$ $$-4{\int }_0^{2\pi }(3{\sin }^2(t)+2{\cos }^2(t))dt=\left\{\begin{array}{c}2{\sin }^2(t)+2{\cos }^2(t)=2\\ {\sin }^2(t)={\displaystyle \frac{1-\cos (2t)}{2}}\end{array}\right\}=$$ $$=-4{\int }_0^{2\pi }(2+{\displaystyle \frac{1-\cos (2t)}{2}})dt=-8\cdot 2\pi -4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\pi =-20\pi$$ y por lo tanto se verifica el teorema de Stokes.

Solución:

Se cumple el teorema de Stokes.

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