Dado el campo vectorial $$F(x,y,z)=(3y,-xz,yz^2)$$ y la superfície $$S$$ dada por la ecuación $$2z=x^2+y^2$$, para $$z \in [0,2]$$, comprobar que se cumple el teorema de Stokes.
Desarrollo:
Seguiremos el siguiente procedimiento:
- Primero debemos calcular la parametrización de la superfície.
$$\sigma(x,y)=\Big(x,y,\dfrac{x^2+y^2}{2}\Big)$$, como $$z\leq2$$, tenemos que $$x^2+y^2 \leq 4$$, $$(x,y)$$ toman valores dentro de un círculo de radio $$2$$.
Por otro lado, la curva $$C$$ es la circunferencia a altura $$z=2$$, de radio $$2$$, como se puede observar en el dibujo, y su parametrización será $$$\gamma(t)=(2\cdot\cos(t),2\cdot\sin(t),2), \mbox{ para } t\in[0,2\pi]$$$
-
Calculamos $$$rot(F)=\Big(\dfrac{d}{dy}F_3-\dfrac{d}{dz}F_2,\dfrac{d}{dz}F_1-\dfrac{d}{dx}F_3,\dfrac{d}{dx}F_2-\dfrac{d}{dy}F_2\Big)=$$$ $$$=(z^2+x,0-0,-z-3)$$$
- Calculamos ahora con lo que sabemos de Análisis Vectorial, $$$\int_S rot(F)dS=\int_S rot(F(\sigma(x,y)))dS=$$$ $$$=\int_S \Big(\Big( \dfrac{x^2+y^2}{2}\Big)^2+x,0,-\dfrac{x^2+y^2}{2}-3\Big)\cdot(T_x \times T_y) \ dxdy$$$ Donde $$Tx = (1,0, x), Ty = (0,1, y)$$, y por lo tanto, $$T_x \times T_y = (-x, - y, 1)$$. Por lo que: $$$\int_S rot(F)dS=-\int_S \Big(\Big( \dfrac{x^2+y^2}{2}\Big)^2\cdot x+x^2+\dfrac{x^2+y^2}{2}+3\Big) \ dxdy=$$$ $$$=\lbrace\mbox{Pasando a coordenadas polares } (|J|=r)\rbrace=$$$ $$$=-\int_0^2\int_0^{2\pi}\Big(\dfrac{r^5}{4}\cdot\cos(t)+r^2\cdot\cos^2(t)+\dfrac{r^2}{2}+3\Big)\cdot r\cdot dtdr=$$$ $$$=\lbrace\mbox{Usando que } \cos^2(t)=\dfrac{1+\cos(2t)}{2}\rbrace=$$$ $$$-\int_0^2\int_0^{2\pi}\Big(\dfrac{r^6}{4}\cdot\cos(t)+r^3\cdot\dfrac{1+\cos(2t)}{2}+\dfrac{r^3}{2}+3r\Big)dtdr=$$$ $$$=\lbrace \mbox{la integral del coseno entre } 0 \mbox{ y } 2\pi \mbox{ vale cero}\rbrace=$$$ $$$=-2\cdot\Big[\dfrac{r^4}{8}\Big]_0^2\cdot[t]_0^{2\pi}-3\Big[\dfrac{r^2}{2}\Big]_0^2\cdot[t]_0^{2\pi}=-20\pi$$$
Calculamos ahora la integral con la parametrización de la curva $$C$$: $$\gamma(t)=(2\cdot\cos(t),2\cdot\sin(t),2), \mbox{ para } t\in[0,2\pi]$$
$$$\int_C F\cdot dL=\int_0^{2\pi} F(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt=\int_0^{2\pi} (6\sin(t),-4\cos(t),8\sin(t))\cdot(-2\sin(t),2\cos(t),0)dt=$$$ $$$-4\int_0^{2\pi}(3\sin^2(t)+2\cos^2(t))dt=\left\{\begin{array}{c} 2\sin^2(t)+2\cos^2(t)=2 \\ \sin^2(t)=\dfrac{1-\cos(2t)}{2} \end{array}\right\}=$$$ $$$=-4\int_0^{2\pi} \Big(2+\dfrac{1-\cos(2t)}{2}\Big)dt=-8\cdot2\pi-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot2\pi=-20\pi$$$ y por lo tanto se verifica el teorema de Stokes.
Solución:
Se cumple el teorema de Stokes.