Exercicis de Teorema de Green, teorema de Gauss i teorema de Stokes

Donat el camp vectorial F(x,y,z)=(3y,xz,yz2) i la superfície S donada per l'equació 2z=x2+y2, per z[0,2], comprovar que es compleix el teorema de Stokes.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Seguirem el següent procediment:

  • Primer hem de calcular la parametrització de la superfície.

σ(x,y)=(x,y,x2+y22), com z2, tenim que x2+y24, (x,y) prenen valors dintre d'un cercle de radi 2.

D'altra banda, la corba C és la circumferència a alçada z=2, de radi 2, com es pot observar en el dibuix, i la seva parametrització serà: γ(t)=(2cos(t),2sin(t),2), para t[0,2π]

imagen

  • Calculem rot(F)=(ddyF3ddzF2,ddzF1ddxF3,ddxF2ddyF2)= =(z2+x,00,z3)

  • Calculem ara amb el que sabem d'Anàlisi vectorial, Srot(F)dS=Srot(F(σ(x,y)))dS= =S((x2+y22)2+x,0,x2+y223)(Tx×Ty) dxdy On Tx=(1,0,x),Ty=(0,1,y), i per tant, Tx×Ty=(x,y,1). De manera que: Srot(F)dS=S((x2+y22)2x+x2+x2+y22+3) dxdy= ={Passant a coordenades polars (|J|=r)}= =0202π(r54cos(t)+r2cos2(t)+r22+3)rdtdr= ={Utilitzant que cos2(t)=1+cos(2t)2}= 0202π(r64cos(t)+r31+cos(2t)2+r32+3r)dtdr= ={la integral del cosinus entre 0 i 2π val zero}= =2[r48]02[t]02π3[r22]02[t]02π=20π

Calculem ara la integral amb la parametrització de la corba C: γ(t)=(2cos(t),2sin(t),2), per a t[0,2π]

CFdL=02πF(γ(t))γ(t)dt=02π(6sin(t),4cos(t),8sin(t))(2sin(t),2cos(t),0)dt= 402π(3sin2(t)+2cos2(t))dt={2sin2(t)+2cos2(t)=2sin2(t)=1cos(2t)2}= =402π(2+1cos(2t)2)dt=82π4122π=20π i per tant es verifica el teorema de Stokes.

Solució:

Es verifica el teorema de Stokes.

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria