Integrales por cambio de variable

Aprenderemos a realizar integrales por cambio de variable. El cambio de variable es un método de gran utilidad a la hora de resolver integrales, pero tiene la complicación de que requiere "imaginación", en el sentido de que, normalmente, nos tenemos que inventar el cambio de variable.

Empezaremos por integrales indefinidas con cambio de variable, para luego realizar integrales definidas por cambio de variable.

El cambio de variable para realizar una integral consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, (la podemos llamar $t$ , $u$ , o como queramos), llamada variable auxiliar.

Luego, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina cambio de variable. Es decir $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{φ (a)}^{φ (b)} f (φ (t)) \cdot φ^{'} (t) d t$ dónde se ha echo el cambio devariable $φ (t) = x$ .

Después de hacer el cambio de variable, por lo general, se obtienen integrales más sencillas.

Formulario

Cambios de variable típicos:

$\int F (a x + b) d x = \frac{1}{a} \int F (u) d u$ , donde $u = a x + b$

$\int F (\sqrt{a x + b} d x = \frac{2}{a} \int u \cdot F (u) d u$ , donde $u = \sqrt{a x + b}$

$\int F (\sqrt[n]{a x + b}) d x = \frac{n}{a} \int u^{n - 1} F (u) d u$ , donde $u = \sqrt[n]{a x + b}$

$\int F (\sqrt{a^{2} + b^{2}}) d x = a \int F (a \cdot \cos u) d u$ , donde $u = a \cdot \sin u$

$\int F (e^{a x}) d x = \frac{1}{a} \int \frac{F (u)}{u} d u$ , donde $u = e^{a x}$

$\int F (\ln x) d x = \int F (u) e^{u} d u$ , donde $u = \ln x$

Procedimiento a seguir

Decidir el cambio de variable a usar ( $t$ una función de $x$ ).
Calcular $d t$ en función de $x$ y de $d x$ .
Sustituir $t$ y $d t$ en la integral, para que desaparezcan las $x$ .
Calcular la integral indefinida en función de $t$ . Si no sabemos cómo calcularla, probar con otro cambio de variable u otro método de integración.
Volver a sustituir las $t$ por las $x$ para que el resultado sea en función de $x$ .

Ejemplo

Calcular la siguiente integral por el método del cambio de variable $\int \frac{x}{\sqrt[5]{x^{2} + 2}} d x$

Realizaremos el cambio de variable $t = x^{2} + 2$ .
$d t$ se calcula derivando la expresión de $t$ en función de $x$ . Pero teniendo en cuenta que al derivar $x$ , nos queda $d x$ (del concepto de diferencial en el temario de derivación): $d t = 2 x \cdot d x + 0 = 2 x \cdot d x$ y por lo tanto $x \cdot d x = \frac{d t}{2}$
$\int \frac{x}{\sqrt[5]{x^{2} + 2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[5]{t}} d t$
$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[5]{t}} d t = \frac{1}{2} \frac{t^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}} + K = \frac{5}{8} \sqrt[5]{t^{4}}$
$\frac{5}{8} \sqrt[5]{t^{4}} + K = \frac{5}{8} \sqrt[5]{(x^{2} + 2)^{4}} + K$

Así obtenemos: $\int \frac{x}{\sqrt[5]{x^{2} + 2}} d x = \frac{5}{8} \sqrt[5]{(x^{2} + 2)^{4}} + K$

Hay que tener en cuenta que esta integral podía realizarse como una integral casi-inmediata. Muchas integrales pueden resolverse de diversas formas distintas.

Ejemplo

Calcular la siguiente integral por el método del cambio de variable: $\int \frac{1}{x^{2} \cdot \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Mirando la integral, vemos que la raíz tiene un cierto parecido con la integral del arco coseno, por lo que intentaremos orientarla en este sentido. Realizaremos primero el cambio de variable $t = \frac{x}{2}$ para eliminar el $4$ de dentro de la integral.
$d t = \frac{d x}{2}$
$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x = \int \frac{2}{4 t^{2} \sqrt{4 - 4 t^{2}}} d t = \frac{1}{4} \int \frac{1}{t^{2} \sqrt{1 - t^{2}}} d t$
Para calcular la integral resultante, realizaremos otro cambio de variable. Tomaremos ahora $z = \arccos t$ , por lo que $t = \cos z$ y $d t = - \sin z \cdot d z$ , quedando la integral: $\int \frac{1}{t^{2} \sqrt{1 - t^{2}}} d t = \frac{1}{4} \int \frac{- \sin z}{\cos^{2} z \cdot \sqrt{1 - \cos^{2} z}} d z = \frac{1}{4} \int \frac{- \sin z}{\cos^{2} z \cdot \sin z} d z =$ $= \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{\cos^{2} z} d z = \frac{- 1}{4} \cdot \tan z + K$
Deshacemos primero el cambio $z = \arccos t$ y luego $2 x = t$ : $\frac{- 1}{4} \tan z + K = - \frac{1}{4} \tan (\arccos t) + K = - \frac{1}{4} \tan (\arccos \frac{x}{2}) + K$

Así obtenemos: $\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} = - \frac{1}{4} \tan (\arccos \frac{x}{2}) + K$

Ejemplo

Calcular la siguiente integral por el método del cambio de variable: $\int x \cdot e^{x^{2}} d x$

Realizaremos el cambio de variable $t = x^{2}$ .
Tenemos que $d t = 2 x \cdot d x$ , y por lo tanto, $x \cdot d x = \frac{d t}{2}$
$\int x e^{x^{2}} d x = \int e^{t} x d x = \int e^{t} d t$
$\int e^{t} d t = e^{t} + C$
$\int e^{t} d t = e^{t} + C$

Entonces:

$\int x e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}} + C$

Integrales definidas por cambio de variable

Procedimiento a seguir:

Decidir el cambio de variable a usar ( $t$ una función de $x$ ).
Calcular $d t$ en función de $x$ y $d x$ . Calcular también los nuevos límites del intervalo de integración en la nueva variable.
Sustituir $t$ y $d t$ en la integral, para que desaparezcan las $x$ . Y cambiar los límites de integración.
Calcular la integral con la nueva variable, sin necesidad de deshacer el cambio de variables si se ha cambiado correctamente el intervalo de integración.