Aprendrem a realitzar integrals per canvi de variable. El canvi de variable és un mètode de gran utilitat a l'hora de resoldre integrals, però té la complicació que requereix "imaginació", en el sentit que, normalment, ens hem d'inventar el canvi de variable.
Començarem per integrals indefinides amb canvi de variable, per a després fer integrals definides per canvi de variable.
El canvi de variable per fer una integral consisteix a igualar una part de l'integrant a una nova variable, (la podem anomenar
Després, s'ha de calcular la derivada de la variable auxiliar i realitzar les operacions necessàries, perquè ni a l'integrant ni en el diferencial, aparegui alguna expressió en termes de la variable original. A això se l'anomena canvi de variable. És a dir
Després de fer el canvi de variable, en general, s'obtenen integrals més senzilles.
Formulari
Canvis de variable típics:
Procediment a seguir
- Decidir el canvi de variable a utilitzar (
una funció de ). - Calcular
en funció de i de . - Substituir
i a la integral, perquè desapareguin les . - Calculeu la integral indefinida en funció de
. Si no sabem com calcular-la, provar amb un altre canvi de variable o un altre mètode d'integració. - Tornar a substituir les
per les perquè el resultat sigui en funció de .
Exemple
Calculeu la següent integral pel mètode del canvi de variable
-
Farem el canvi de variable
. -
es calcula derivant l'expressió de en funció de . Però tenint en compte que en derivar , ens queda (del concepte de diferencial en el temari de derivació): i per tant -
-
Així obtenim:
Cal tenir en compte que aquesta integral podia realitzar-se com una integral quasi-immediata. Moltes integrals es poden resoldre de diverses formes diferents.
Exemple
Calculeu la següent integral pel mètode del canvi de variable:
-
Mirant la integral, veiem que l'arrel té una certa semblança amb la integral de l'arc cosinus, de manera que intentarem orientar en aquest sentit. Farem primer el canvi de variable
per eliminar el de dins de la integral. -
-
-
Per calcular la integral resultant, realitzarem un altre canvi de variable. Prendrem ara
, de manera que i , i la integral: - Desfem primer el canvi
i despré :
Així obtenim:
Exemple
Calculeu la següent integral pel mètode del canvi de variable:
-
Farem el canvi de variable
. -
Tenim que
, i per tant, -
-
Llavors:
Integrals definides per canvi de variable
Procediment a seguir:
- Decidir el canvi de variable a utilitzar (
una funció de ). - Calcular
en funció de i . Calculeu també els nous límits de l'interval d'integració en la nova variable. - Substituir
i a la integral, perquè desapareguin les . I canviar els límits d'integració. - Calculeu la integral amb la nova variable, sense necessitat de desfer el canvi de variables si s'ha canviat correctament l'interval d'integració.