Integrals per canvi de variable

Aprendrem a realitzar integrals per canvi de variable. El canvi de variable és un mètode de gran utilitat a l'hora de resoldre integrals, però té la complicació que requereix "imaginació", en el sentit que, normalment, ens hem d'inventar el canvi de variable.

Començarem per integrals indefinides amb canvi de variable, per a després fer integrals definides per canvi de variable.

El canvi de variable per fer una integral consisteix a igualar una part de l'integrant a una nova variable, (la podem anomenar t, u, o com vulguem), anomenada variable auxiliar.

Després, s'ha de calcular la derivada de la variable auxiliar i realitzar les operacions necessàries, perquè ni a l'integrant ni en el diferencial, aparegui alguna expressió en termes de la variable original. A això se l'anomena canvi de variable. És a dir abf(x) dx=φ(a)φ(b)f(φ(t))φ(t) dt on s'ha fet el canvi de variable φ(t)=x.

Després de fer el canvi de variable, en general, s'obtenen integrals més senzilles.

Formulari

Canvis de variable típics:

F(ax+b) dx=1aF(u) du, on u=ax+b

F(ax+b dx=2auF(u) du, on u=ax+b

F(ax+bn) dx=naun1F(u) du, on u=ax+bn

F(a2+b2) dx=aF(acosu) du, on u=asinu

F(eax) dx=1aF(u)u du, on u=eax

F(lnx) dx=F(u)eudu, on u=lnx

Procediment a seguir

  1. Decidir el canvi de variable a utilitzar (t una funció de x).
  2. Calcular dt en funció de x i de dx.
  3. Substituir t i dt a la integral, perquè desapareguin les x.
  4. Calculeu la integral indefinida en funció de t. Si no sabem com calcular-la, provar amb un altre canvi de variable o un altre mètode d'integració.
  5. Tornar a substituir les t per les x perquè el resultat sigui en funció de x.

Exemple

Calculeu la següent integral pel mètode del canvi de variable xx2+25 dx

  • Farem el canvi de variable t=x2+2.

  • dt es calcula derivant l'expressió de t en funció de x. Però tenint en compte que en derivar x, ens queda dx (del concepte de diferencial en el temari de derivació): dt=2xdx+0=2xdx i per tant xdx=dt2

  • xx2+25 dx=121t5 dt

  • 121t5 dt=12t4545+K=58t45

  • 58t45+K=58(x2+2)45+K

Així obtenim: xx2+25 dx=58(x2+2)45+K

Cal tenir en compte que aquesta integral podia realitzar-se com una integral quasi-immediata. Moltes integrals es poden resoldre de diverses formes diferents.

Exemple

Calculeu la següent integral pel mètode del canvi de variable: 1x24x2 dx

  • Mirant la integral, veiem que l'arrel té una certa semblança amb la integral de l'arc cosinus, de manera que intentarem orientar en aquest sentit. Farem primer el canvi de variable t=x2 per eliminar el 4 de dins de la integral.

  • dt=dx2

  • 1x24x2 dx=24t244t2 dt=141t21t2 dt

  • Per calcular la integral resultant, realitzarem un altre canvi de variable. Prendrem ara z=arccost, de manera que t=cosz i dt=sinzdz, i la integral: 1t21t2 dt=14sinzcos2z1cos2z dz=14sinzcos2zsinz dz= =141cos2z dz=14tanz+K

  • Desfem primer el canvi z=arccost i despré 2x=t: 14tanz+K=14tan(arccost)+K=14tan(arccosx2)+K

Així obtenim: dxx24x2=14tan(arccosx2)+K

Exemple

Calculeu la següent integral pel mètode del canvi de variable: xex2 dx

  • Farem el canvi de variable t=x2.

  • Tenim que dt=2xdx, i per tant,xdx=dt2

  • xex2 dx=etxdx=et dt

  • etdt=et+C

  • et dt=et+C

Llavors:

xex2 dx=ex2+C

Integrals definides per canvi de variable

Procediment a seguir:

  1. Decidir el canvi de variable a utilitzar (t una funció de x).
  2. Calcular dt en funció de x i dx. Calculeu també els nous límits de l'interval d'integració en la nova variable.
  3. Substituir t i dt a la integral, perquè desapareguin les x. I canviar els límits d'integració.
  4. Calculeu la integral amb la nova variable, sense necessitat de desfer el canvi de variables si s'ha canviat correctament l'interval d'integració.