Un tipus d'integral que ens podem trobar són aquelles integrals d'una fracció polinòmica.
Exemple
De manera més general, les integrals de la forma
En el cas en què grau
Descomposició en fraccions simples
Per descompondre una fracció polinòmica en fraccions simples, primer hem de
factoritzar en polinomis de grau
Després, igualem la funció a una suma de termes: donada
Així, prenem la igualtat següent:
A continuació, realitzem la suma de totes aquestes funcions polinòmiques, a partir del denominador comú, i igualem aquesta suma a la fracció polinòmica inicial, igualant els coeficients de cada grau del numerador.
Un cop obtinguts els coeficients, expressem la integral original com a suma d'integrals, que sabem resoldre utilitzant logaritme i arctangent.
Procediment a seguir
- Assegurar que el grau del numerador és més gran que el del denominador. En cas contrari, separar la fracció realitzant la divisió de polinomis.
- Descompondre en factors el polinomi denominador, sigui per Ruffini o per qualsevol altre mètode.
- Escriure la fracció polinòmica en forma de suma de fraccions com s'ha descrit anteriorment, obtenint diverses constants incògnites.
- Treure factor comú dels denominadors, i obtenir un sistema d'equacions igualant els termes del mateix grau.
- Resoldre el sistema d'equacions, obtenint les constants.
- Escriure la integral com a suma d'integrals de fraccions de grau 1 o 2, i resoldre-la, tenint en compte que:
Exemple
Tenim, en aquest cas,
I operant, obtenim el següent sistema d'equacions:
I, per tant,
Exemple
Realitzant el procés per passos, tenim que:
- El grau del numerador és més gran, amb el que fem la divisió polinòmica, obtenint el resultat de:
per la qual cosa
i calcularem:
- Descomponent, tenim:
i, per tant, tenim:
- Del sistema d'equacions anterior, podem obtenir: