Exercicis de Integrals per fraccions simples

Desenvolupament:

• El grau del numerador és menor que el del denominador, i per tant no cal fer la divisió de polinomis.

• ${\displaystyle \frac{x+4}{x^2-5x+3}}={\displaystyle \frac{x+4}{(x-2)(x-3)}}$

• ${\displaystyle \frac{x+4}{(x-2)(x-3)}}={\displaystyle \frac{A}{x-2}}+{\displaystyle \frac{B}{x-3}}$

• ${\displaystyle \frac{A}{x-2}}+{\displaystyle \frac{B}{x-3}}={\displaystyle \frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}}$

$x=Ax+Bx$, per a tot $x$, així que tenim la igualtat $1=A+B$ i també $4=-3A-2B$.

• Resolent el sistema $\begin{array}{l}1=A+B\\ 4=-3A-2B\end{array}$ tenim $A=-6$ i $B=5$.

• Tenim que ${\displaystyle \frac{x+4}{x^2-5x+3}}={\displaystyle \frac{-6}{x-2}}+{\displaystyle \frac{5}{x-3}}$, i llavors

$$\int \frac{x+4}{x^2-5x+3}dx=\int {\displaystyle \frac{-6}{x-2}}+{\displaystyle \frac{5}{x-3}}dx=\int {\displaystyle \frac{-6}{x-2}}dx+\int {\displaystyle \frac{5}{x-3}}dx=$$ $$=-6\cdot \ln |x-2|+5\cdot \ln |x-3|+C$$

Solució:

${\displaystyle \int \frac{x+4}{x^2-5x+3}dx=-6\cdot \ln |x-2|+5\cdot \ln |x-3|+C}$

Amagar desenvolupament i solució