Calcular la integral $$\displaystyle \int \frac{x+4}{x^2-5x+3} \ dx$$
Veure desenvolupament i solució
Desenvolupament:
-
El grau del numerador és menor que el del denominador, i per tant no cal fer la divisió de polinomis.
-
$$\dfrac{x+4}{x^2-5x+3}=\dfrac{x+4}{(x-2)(x-3)}$$
-
$$\dfrac{x+4}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}$$
- $$\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}=\dfrac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}$$
$$x=Ax+Bx$$, per a tot $$x$$, així que tenim la igualtat $$1=A+B$$ i també $$4=-3A-2B$$.
-
Resolent el sistema $$\begin{array} {ll} 1=A+B \\ 4=-3A-2B \end{array}$$ tenim $$A =-6$$ i $$B=5$$.
- Tenim que $$\dfrac{x+4}{x^2-5x+3}=\dfrac{-6}{x-2}+\dfrac{5}{x-3}$$, i llavors
$$$\int \frac{x+4}{x^2-5x+3} \ dx=\int\dfrac{-6}{x-2}+\dfrac{5}{x-3} \ dx=\int\dfrac{-6}{x-2} \ dx+ \int\dfrac{5}{x-3} \ dx=$$$ $$$=-6\cdot\ln|x-2|+5\cdot\ln|x-3|+C$$$
Solució:
$$\displaystyle \int \frac{x+4}{x^2-5x+3} \ dx= -6\cdot\ln|x-2|+5\cdot\ln|x-3|+C$$