Exercicis de Integrals per canvi de variable

Desenvolupament:

• Canvi de variable $x=3\cdot \sin (t)$

• $dx=3\cdot \cos (t)\cdot dt$

$x=0\Rightarrow u=arcsin({\displaystyle \frac{0}{3}})=0$

$x=3\Rightarrow u=arcsin({\displaystyle \frac{3}{3}})={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

• ${\displaystyle {\int }_0^3\sqrt{9-x^2}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}3\cdot \cos (t)\cdot \sqrt{9-3^2\cdot {\sin }^2(t)}dt=9{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^3(t)dt}$

• ${\displaystyle 9{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2(t)dt=9{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{1+\cos (2t)}{2}}dt=}$

$={\displaystyle 9{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{1}{2}}dt+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{\cos (2t)}{2}}dt={\displaystyle \frac{9}{4}}\pi +0={\displaystyle \frac{9}{4}}\pi }$

Observem que, quan es té una integral d'un cosinus o sinus amb un exponent parell, aplicarem la fórmula de l'angle doble tantes vegades com sigui necessari per reduir el grau de la integral.

Solució:

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{9-x^2}dx={\displaystyle \frac{9}{4}}\pi }$

Com podem veure, si els límits d'integració estan ben calculats, no cal desfer el canvi de variable.

Amagar desenvolupament i solució