Exercicis de Integració per parts

Desenvolupament:

Hem de triar una funció que sigui $u(x)$ i una altra $v(x)$, de manera que l'integrand $\ln (x)$ sigui: $\ln (x)=u(x)\cdot v^{\prime }(x)$.

Escollim en aquest cas $$u=\ln (x);dv=1\cdot dx$$

i tenim que $$du={\displaystyle \frac{1}{x}};v={\displaystyle \int 1\cdot dx=x}$$

Així, aplicant la fórmula d'integració per parts, tenim:

$$\int \ln (x)dx=\int \ln (x)\cdot 1dx=x\cdot \ln (x)-\int x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=$$ $$=x\cdot \ln (x)-\int 1dx=x\cdot \ln (x)-x+C$$

En el cas d'integrals amb logaritmes, normalment interessa derivar el logaritme perquè després es simplifiqui, per això l'elecció de $u(x)=\ln (x)$.

Solució:

${\displaystyle \int \ln (x)dx=x\cdot \ln (x)-x+C}$

Amagar desenvolupament i solució