Calculeu la següent integral $$\displaystyle\int\ln(x) \ dx$$
Veure desenvolupament i solució
Desenvolupament:
Hem de triar una funció que sigui $$u(x)$$ i una altra $$v(x)$$, de manera que l'integrand $$\ln(x)$$ sigui: $$\ln(x) =u (x) \cdot v' (x)$$.
Escollim en aquest cas $$$u=\ln(x) \ \ ; \ \ dv=1\cdot dx$$$
i tenim que $$$du=\dfrac{1}{x} \ \ ; \ \ v=\displaystyle\int 1\cdot \ dx=x$$$
Així, aplicant la fórmula d'integració per parts, tenim:
$$$\int\ln(x) \ dx=\int\ln(x)\cdot 1 \ dx = x\cdot\ln(x)-\int x\cdot\dfrac{1}{x} \ dx=$$$ $$$=x\cdot\ln(x)-\int 1 \ dx=x\cdot\ln(x)-x+C $$$
En el cas d'integrals amb logaritmes, normalment interessa derivar el logaritme perquè després es simplifiqui, per això l'elecció de $$u(x)=\ln (x)$$.
Solució:
$$\displaystyle\int\ln(x) \ dx=x\cdot\ln(x)-x+C $$