Ejercicios de Integración por partes

Desarrollo:

Tenemos que escoger una función que sea $u(x)$ y otra $v(x)$, de forma que el integrando $\ln (x)$ sea: $\ln (x)=u(x)\cdot v^{\prime }(x)$.

Escogemos en este caso $$u=\ln (x);dv=1\cdot dx$$

y tenemos que $$du={\displaystyle \frac{1}{x}};v={\displaystyle \int 1\cdot dx=x}$$

Así, aplicando la fórmula de integración por partes, tenemos:

$$\int \ln (x)dx=\int \ln (x)\cdot 1dx=x\cdot \ln (x)-\int x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=$$ $$=x\cdot \ln (x)-\int 1dx=x\cdot \ln (x)-x+C$$

En el caso de integrales con logaritmos, normalmente interesa derivar el logaritmo para que luego se simplifique, por eso la elección de $u(x)=\ln (x)$.

Solución:

${\displaystyle \int \ln (x)dx=x\cdot \ln (x)-x+C}$

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