Calcular la siguiente integral $$\displaystyle\int\ln(x) \ dx$$
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Desarrollo:
Tenemos que escoger una función que sea $$u(x)$$ y otra $$v(x)$$, de forma que el integrando $$\ln(x)$$ sea: $$\ln(x) =u (x) \cdot v' (x)$$.
Escogemos en este caso $$$u=\ln(x) \ \ ; \ \ dv=1\cdot dx$$$
y tenemos que $$$du=\dfrac{1}{x} \ \ ; \ \ v=\displaystyle\int 1\cdot \ dx=x$$$
Así, aplicando la fórmula de integración por partes, tenemos:
$$$\int\ln(x) \ dx=\int\ln(x)\cdot 1 \ dx = x\cdot\ln(x)-\int x\cdot\dfrac{1}{x} \ dx=$$$ $$$=x\cdot\ln(x)-\int 1 \ dx=x\cdot\ln(x)-x+C $$$
En el caso de integrales con logaritmos, normalmente interesa derivar el logaritmo para que luego se simplifique, por eso la elección de $$u(x)=\ln (x)$$.
Solución:
$$\displaystyle\int\ln(x) \ dx=x\cdot\ln(x)-x+C $$