Integración por partes

Si $u (x)$ y $v (x)$ son dos funciones, por las reglas de derivación sabemos que $d (u \cdot v) = u \cdot d v + v \cdot d u$ integrando $u \cdot v = \int u \cdot d v + \int v \cdot d u$

y, por lo tanto, $\int u \cdot d v = u \cdot v - \int v \cdot d u$

Esta es la fórmula de integración por partes y nos servirá para calcular muchas integrales y, aunque pueda parecer difícil, es recomendable su memorización.

Para poder escoger mejor qué parte tomar como $u (x)$ y qué parte como $v (x)$ hay que pensar en que la integral que nos quedará luego será la integral de $v (x) \cdot u^{'} (x)$ . Es decir, el término que tomamos como derivada, luego irá integrado y el otro irá derivado. A veces no escribiremos la variable $x$ , aunque siempre la tendremos en cuenta. Debemos recordar que $d v = v^{'} (x) \cdot d x$ y que $d u = u^{'} (x) \cdot d x$ .

El procedimiento a seguir es el siguiente:

Escoger las funciones $u$ y $d v$ .
Calcular $d u$ y $v$ .
Usar la fórmula y encontrar el valor de la integral.

Ejemplo

$\int x \cdot e^{x} d x$

En este caso,

$\begin{array}{ll} u = x & d u = 1 \cdot d x \\ d v = e^{x} d x & v = \int e^{x} d x = e^{x} \end{array}$

por lo que:

$\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$

Al intentar realizar una integral por partes, como se puede ver, siempre se tiene que resolver otra integral. La esencia de las integrales por partes es que esta nueva integral sea más fácil que la anterior. Aún así, pueden tenerse que hacer varios pasos de integral por partes para resolver una integral.

Podemos encontrarnos con que, después de varios pasos, volvemos a tener la misma integral inicial. En tal caso, llamaremos $I$ a la integral y resolveremos la ecuación obtenida en términos de $I$ .

Ejemplo

Integral por partes en 2 pasos. $\int x^{2} e^{x} d x$

Tomamos, en este caso

$\begin{array}{ll} u = x^{2} & d u = 2 x \cdot d x \\ d v = e^{x} d x & v = \int e^{x} d x = e^{x} \end{array}$

por lo que:

$\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x \cdot e^{x} d x$ con la nueva integral ya calculada en el ejemplo $1$ .

Tomando las mismas funciones $\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int e^{x} d x = x \cdot e^{x} - e^{x}$ , y podemos sustituir el valor de esta integral para obtener:

$\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x = x^{2} e - 2 (x e^{x} - e^{x}) + C = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + C$

Ejemplo

$\int \sin^{2} x d x$

Esta integral puede calcularse de varias maneras (¡No es una integral inmediata, falta la derivada!).

Para realizar esta integral por partes, tomaremos

$\begin{array}{ll} u = \sin x & d u = \cos x \cdot d x \\ d v = \sin x d x & v = \int \sin x d x = - \cos x \end{array}$

Así, nos queda:

$\int \sin^{2} x d x = - \sin x \cos x - \int \cos^{2} x d x = - \sin x \cdot c o s x + \int \cos^{2} x d x = = - \sin x \cos x + \int 1 - s i n^{2} x d x = - \sin x \cos x + x - \int \sin^{2} x d x$

Donde hemos usado que $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ .

Así pues, volvemos a tener la misma integral que inicialmente.

$\sin^{2} x d x = - \sin x \cos x + x - \int \sin^{2} x d x$

Si aislamos $\int s i n^{2} x d x$ tenemos:

$2 \int s i n^{2} x d x = - \sin x \cos x + x \Rightarrow \int \sin^{2} x d x = - \frac{1}{2} \sin x \cos x + \frac{x}{2} + C$

Ejemplo

$\int \arctan x d x$

Esta integral puede parecer difícil, pero podemos tomar $u = a r c t g (x)$ y $d v = 1$ (a menudo es muy útil el hecho de tomar $d v = 1$ ).

Tenemos entonces:

$\begin{array}{ll} u = \arctan x & d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x \\ d v = 1 d x & v = x \end{array}$

y así:

$\int \arctan c d x = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln | 1 + x^{2} |$

donde $\int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$ es una integral casi inmediata.