Integral indefinida

Sabemos algunos conceptos sobre la derivación: si $F(x)$ es una función, denotamos $F^{\prime }(x)$ a su derivada, y se calcula según las reglas ya vistas con anterioridad. El problema que abordamos ahora es el problema inverso, es decir, a partir de una derivada, llamémosla $f(x)$, encontrar qué función $F(x)$ tiene como derivada a $f(x)$. O sea, $F^{\prime }(x)=f(x)$.

De otra forma, escribiremos ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)}$, que significa que $f(x)$ es la derivada de $F(x)$ respecto a la variable $x$. Entonces, $F(x)$ es la integral indefinida, función primitiva, o antiderivada de $f(x)$.

Observemos que escribimos el símbolo ${\displaystyle \int }$ para decir que estamos integrando, y $dx$ para hacer notar sobre qué variable estamos antiderivando. En algunos casos podría omitirse este $dx$, pero para no causar confusiones hay que escribirlo siempre.

Veamos ahora algunas propiedades importantes de la integral indefinida:

• Sabemos que la derivada de una constante $C$ es ${\displaystyle \frac{d}{dx}}C=0$. Por lo tanto, dada $f(x)$, tenemos una función primitiva ${\displaystyle \frac{d}{dx}}F(x)=F^{\prime }(x)=f(x)$, pero entonces también $F(x)+C$ es una primitiva válida porque sabemos que ${\displaystyle \frac{d}{dx}}(F(x)+C)=f(x)$. Por lo tanto, la primitiva o antiderivada de una función no es única. Y al calcularlas siempre daremos el resultado como: ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$, donde $C$ se llama constante de integración. Notemos que no se debe olvidar nunca esta constante.

• La integral, así como la derivada, cumple las propiedades de linealidad, es decir:

  • ${\displaystyle \int k\cdot f(x)dx=k\cdot \int f(x)dx}$
  • ${\displaystyle \int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}$