Exercicis de Integral sobre una superfície

Calcular la integral de f(x,y,z)=1 al llarg de la superfície parametritzada per φ(r,θ)=(rcosθ,rsinθ,r2)

És a dir, {x=rcosθy=rsinθz=r2, per a r[0,1] i θ[0,2π]

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Seguim el següent procediment:

  • Prendre la parametrització de la superfície S, i calcular els seus vectors Tu, Tv. Amb ells fer el producte vectorial, i calcular la norma del resultat.

Observem que la superfície parametritzada es tracta d'una paràbola de revolució. Calculem els vectors

Tr=(cosθ,sinθ,2r)

Tθ=(rsinθ,rcosθ,0)

i calculem el producte vectorial entre ells: Tr×Tθ=|ijkcosθsinθ2rrsinθrcosθ0|= =2r2cosθi2r2sinθj+r(sin2θ+cos2θ)k= =r(2rcosθ,2rsinθ,1)

||Tr×Tθ=r||(2rcosθ,2rsinθ,1)||=r4r2+1

  • Substituir x, y i z per x(u,v),y(u,v) i z(u,v) en la funció f, d'acord amb la parametrització donada. f(x,y,z)=1 en aquest cas no varia, donat que és una funció constant.

  • Calcular la integral resultant.

Sf dS=0102πr4r2+1dθdr=012πr4r2+1dr= =π4018r4r2+1dr=π4[14r2+1]01=π4(151)

Solució:

Sf dS=π4(151)

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria