Ejercicios de Integral sobre una superficie

Calcular la integral de f(x,y,z)=1 a lo largo de la superficie parametrizada por φ(r,θ)=(rcosθ,rsinθ,r2)

Es decir, {x=rcosθy=rsinθz=r2, para r[0,1] y θ[0,2π]

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Desarrollo:

Sigamos el siguiente procedimiento:

  • Tomar la parametrización de la superficie S, y calcular sus vectores Tu, Tv. Con ellos hacer el producto vectorial, y calcular la norma del resultado.

Observemos que la superficie parametrizada se trata de una parábola de revolución. Calculamos los vectores

Tr=(cosθ,sinθ,2r)

Tθ=(rsinθ,rcosθ,0)

y calculamos el producto vectorial entre ellos: Tr×Tθ=|ijkcosθsinθ2rrsinθrcosθ0|= =2r2cosθi2r2sinθj+r(sin2θ+cos2θ)k= =r(2rcosθ,2rsinθ,1)

||Tr×Tθ=r||(2rcosθ,2rsinθ,1)||=r4r2+1

  • Sustituir x, y e z por x(u,v),y(u,v) e z(u,v) en la función f, de acuerdo con la parametrización dada. f(x,y,z)=1 en este caso no varia pues es una función constante.

  • Calcular la integral resultante.

Sf dS=0102πr4r2+1dθdr=012πr4r2+1dr= =π4018r4r2+1dr=π4[14r2+1]01=π4(151)

Solución:

Sf dS=π4(151)

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