Ejercicios de Concavidad y convexidad

Estudia la función $$f(x)=(x-2)^2(x+1)$$.

Determinar sus ceros.
Determinar los máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Determinar los intervalos de crecimiento/decrecimiento y los intervalos cóncavos/convexos.
Hacer un esquema de la función.

Ver desarrollo y solución

Desarrollo:

Determinamos los ceros o soluciones de la función:

$$f(x)=(x-2)^2(x+1)=0 \Rightarrow x=2; \ x=-1$$

Determino los extremos relativos y los puntos de inflexión:

$$f'(x)=2(x-2)(x+1)+(x-2)^2=(x-2)(2(x+1)+x-2)=3x(x-2)$$

Igualamos la primera derivada a cero para hallar máximos y mínimos:

$$f'(x)=3x(x-2)=0 \Rightarrow x=2; \ x=0. \ \ (f(2)=0; \ f(0)=4)$$

Miramos la segunda derivada en cada uno de los valores y miramos su signo:

$$f''(x)=3(x-2)+3x=6x-6$$

$$f''(2)=5 > 0 \Rightarrow Min$$

$$f''(0)=-6 < 0 \Rightarrow Max$$

Por lo tanto, los extremos relativos son

$$(2,0) \ Min$$; $$(0,4) \ Max$$

Veamos el punto de inflexión:

$$f''(x)=6x-6=0 \Rightarrow x=1 \ \ (f(1)=2)$$

Por lo tanto hay un punto de inflexión en $$(1,2)$$.

Para estudiar los intervalos de crecimiento/decrecimiento debemos analizar la función derivada $$f'(x)$$, $$f'(x)=3x(x-2)$$.

Hemos visto las raíces, que nos dan los intervalos. Veamos cada intervalo y el valor de la derivada dentro de él.

$$(-\infty,0) \ f'(-10) > 0 \Rightarrow$$ Creciente

$$(0,2) \ f'(1) < 0 \Rightarrow$$ Decreciente

$$(2,\infty) \ f'(10) > 0 \Rightarrow$$ Creciente

Para estudiar la concavidad debemos mirar la segunda derivada en cada intervalo (ahora los intervalos vienen dados por los ceros de la segunda derivada, no de la primera como antes): $$f''(x)=6x-6$$.

Los intervalos son:

$$(-\infty,1) \ f''(-10) < 0 \Rightarrow$$ Cóncava

$$(1,\infty) \ f''(10) > 0 \Rightarrow$$ Convexa

imagen

Solución:

$$x=2; \ x=-1$$
$$(2,0) \ Min$$; $$(0,4) \ Max$$; Punto de inflexión en $$(1,2)$$.
Intervalos de crecimiento/decrecimiento: