Ejercicios de Crecimiento y decrecimiento de una función

Desarrollo:

a) Véase el gráfico

Al mirar la gráfica vemos que es una función creciente, si bien en $x=0$ se observa un tramo aparentemente liso. ¿Se trata, pues, de una función estrictamente creciente en $x=0$?

Vayamos a calcularlo analíticamente. Para ello calculemos la derivada: $$y^{\prime }=3x^2$$ Veamos cual es el signo de la derivada en los puntos situados en un entorno próximo a $x=0$.

Se ve que para cualquier valor de $x$ (diferente de cero) la derivada es positiva. Por lo tanto todos los puntos del entorno de $x=0$ tiene derivada positiva. Esto significa que la función es estrictamente creciente en $x=0$.

b) Véase la derivada en valores próximos a $x=0$.

Para valores negativos de $x$, la derivada $y^{\prime }=0$.

Para valores positivos de $x$, la derivada $y^{\prime }=-1$.

Por lo tanto, $y^{\prime }\le 0$ en un entorno próximo a $x=0$, y por lo tanto la función es decreciente en $x=0$ (no es estrictamente decreciente!)

Solución:

a) Estrictamente creciente

b) Decreciente

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