Ejercicios de Crecimiento y decrecimiento de una función

Estudiar el crecimiento/decrecimiento en $$x=0$$ de las siguientes funciones.

a) $$y=x^3$$

b) $$y= \left\{ \begin{array} {rcl} 0 & \mbox{ if } & x \leq 0 \\ -x & \mbox{ if } & x>0 \end{array}\right.$$

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Desarrollo:

a) Véase el gráfico

imagen

Al mirar la gráfica vemos que es una función creciente, si bien en $$x=0$$ se observa un tramo aparentemente liso. ¿Se trata, pues, de una función estrictamente creciente en $$x=0$$?

Vayamos a calcularlo analíticamente. Para ello calculemos la derivada: $$$y'=3x^2$$$ Veamos cual es el signo de la derivada en los puntos situados en un entorno próximo a $$x=0$$.

Se ve que para cualquier valor de $$x$$ (diferente de cero) la derivada es positiva. Por lo tanto todos los puntos del entorno de $$x=0$$ tiene derivada positiva. Esto significa que la función es estrictamente creciente en $$x=0$$.

b) Véase la derivada en valores próximos a $$x=0$$.

Para valores negativos de $$x$$, la derivada $$y'=0$$.

Para valores positivos de $$x$$, la derivada $$y'=-1$$.

Por lo tanto, $$y'\leq0$$ en un entorno próximo a $$x=0$$, y por lo tanto la función es decreciente en $$x=0$$ (no es estrictamente decreciente!)

Solución:

a) Estrictamente creciente

b) Decreciente

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