Exercicis de Creixement i decreixement d'una funció

Desenvolupament:

a) Vegeu el gràfic

Mirant la gràfica veiem que és una funció creixent, tot i que en $x=0$ s'observa un tram aparentment llis. Es tracta, doncs, d'una funció estrictament creixent en $x=0$?

Anem a calcular-ho analíticament. Per això calculem la derivada: $$y^{\prime }=3x^2$$ Vegem quin és el signe de la derivada en els punts situats en un entorn proper a $x=0$.

Es veu que per a qualsevol valor de x (diferent de zero) la derivada és positiva. Per tant tots els punts de l'entorn de $x=0$ té derivada positiva. Això vol dir que la funció és estrictament creixent en $x=0$.

b) Vegeu la derivada en valors propers a $x=0$.

Per a valors negatius de $x$, la derivada $y^{\prime }=0$.

Per a valors positius de $x$, la derivada $y^{\prime }=-1$.

Per tant, $y^{\prime }\le 0$ en un entorn proper a $x=0$, i per tant la funció és decreixent en $x=0$ (no és estrictament decreixent!)

Solució:

a) Estrictament creixent

b) Decreixent

Amagar desenvolupament i solució