Creixement i decreixement d'una funció

La idea de funció creixent o decreixent és bàsicament intuïtiva, encara que s'ha de saber formular matemàticament. Vegeu els següents gràfics:

Espontàniament un diria que el primer gràfic correspon a una funció creixent, mentre que el segon correspon a una funció decreixent.

Vegeu ara els dos següents gràfics:

En aquest exemple es pot encara diferenciar entre què gràfica representa una funció creixent i qual una decreixent. No obstant això un pot preguntar també què passa en els trams plans (o de pendent nul).

Cadascuna de les quatre situacions exposades anteriorment són aparentment diferents, i per això s'han de definir correctament. Per a això utilitzem el llenguatge matemàtic.

Funció estrictament creixent (Gràfic 1)

Una funció és estrictament creixent en un punt qualsevol (que anomenem $a$) quan es compleix la següent propietat:

La funció $f$ és estrictament creixent en $a⟺\mathrm{\exists }E(a)$ tal que $\mathrm{\forall }x\in E(a)$ es compleix: $$\begin{array}{rcl}x>a& ⟹& f(x)>f(a)\\ x<a& ⟹& f(x)<f(a)\end{array}$$

La qual cosa es llegeix com segueix: La funció $f$ és estrictament creixent en $a$ si, i només si, existeix un entorn de $a$ tal que per a qualsevol $x$ que pertanyi a aquest entorn es compleix que si $x$ és estrictament més gran que $a$ aleshores $f(x)$ és estrictament més gran que $f(a)$, i que si $x$ és estrictament menor que $a$ aleshores $f(x)$ és menor que $f(a)$.

Clarament la idea de creixement estricte és més senzilla que la seva definició formal.

Funció estrictament decreixent (Gràfic 2)

Una funció és estrictament decreixent en un punt qualsevol 'a' quan es compleix la següent propietat:

La funció $f$ és estrictament decreixent en $a⟺\mathrm{\exists }E(a)$ tal que $\mathrm{\forall }x\in E(a)$ es compleix: $$\begin{array}{rcl}x>a& ⟹& f(x)<f(a)\\ x<a& ⟹& f(x)>f(a)\end{array}$$

La qual cosa es llegeix com segueix: La funció $f$ és estrictament creixent en $a$ si, i només si, existeix un entorn de $a$ tal que per a qualsevol $x$ que pertanyi a aquest entorn es compleix que si $x$ és estrictament més gran que $a$ aleshores $f(x)$ és estrictament menor que $f(a)$, i que si $x$ és estrictament menor que $a$ aleshores $f(x)$ és més gran que $f(a)$.

Funció creixent (Gràfic 3)

Les dues situacions exposades fins al moment són clarament les opcions més restrictives.

En els gràfics inicials s'ha vist, però, algun altre cas. En el gràfic, per exemple, la funció en cap moment decreix, encara que tampoc és estrictament creixent, ja que existeix un interval (el tros de pendent nul) que no compleix la definició. Vegeu la definició de funció creixent.

Una funció és creixent en un punt qualsevol $a$ quan es compleix la següent propietat:

La funció $f$ és creixent en $a⟺\mathrm{\exists }E(a)$ tal que $\mathrm{\forall }x\in E(a)$ es compleix: $$\begin{array}{rcl}x<a& ⟹& f(x)\ge f(a)\\ x<a& ⟹& f(x)\le f(a)\end{array}$$

La qual cosa es llegeix com segueix: La funció $f$ és creixent en $a$ si, i només si, existeix un entorn de $a$ tal que per a qualsevol $x$ que pertanyi a aquest entorn es compleix que si $x$ és estrictament més gran que $a$ aleshores $f(x)$ és major o igual que $f(a)$, i que si $x$ és estrictament menor que $a$ aleshores $f(x)$ és menor o igual que $f(a)$.

El símbol $=$ dóna una versió menys restrictiva del que exigíem a una funció per a ser estrictament creixent.

Funció decreixent (Gràfic 4)

Una funció és decreixent en un punt qualsevol $a$ quan es compleix la següent propietat:

La funció $f$ és decreixent en $a⟺\mathrm{\exists }E(a)$ tal que $\mathrm{\forall }x\in E(a)$ es compleix: $$\begin{array}{rcl}x>a& ⟹& f(x)\le f(a)\\ x<a& ⟹& f(x)\ge f(a)\end{array}$$

La qual cosa es llegeix com segueix: La funció $f$ és decreixent en $a$ si, i només si, existeix un entorn de $a$ tal que per a qualsevol $x$ que pertanyi a aquest entorn es compleix que si $x$ és estrictament més gran que $a$ aleshores $f(x)$ és menor o igual que $f(a)$, i que si $x$ és estrictament menor que $a$ aleshores $f(x)$ és major o igual que $f(a)$.

Per sort hi ha una manera abreujada d'escriure aquestes definicions utilitzant el concepte de derivada.

• Creixement en $a$: $f^{\prime }(a)\ge 0$
• Decreixement en $a$: $f^{\prime }(a)\le 0$

(o la seva versió més restrictiva per a creixement i decreixement estricte, amb els símbols $>$ i $<$).