Intervals de creixement i decreixement

La idea de creixement o decreixement porta de la mà la idea d'interval o entorn. Doncs bé, una funció tindrà trossos, trams o intervals creixents i / o decreixents. Ara farem un estudi d'aquests intervals mitjançant l'ús de les derivades.

Sigui la funció $$f(x)=x^2-4x+1$$ Volem estudiar aquesta funció, avaluant quan aquesta és creixent o decreixent, i per això hem de determinar els seus intervals i estudiar les seves derivades. Per a tal propòsit és útil seguir els següents passos:

1. En primer lloc es calcula la derivada de $f(x)$ $$f^{\prime }(x)=2x-4$$

2. S'obtenen les arrels de la derivada. Per això, s'imposa $f^{\prime }(x)=0$: $$f^{\prime }(x)=2x-4=0⟹x=2$$ L'arrel és $x=2$.

3. S'estableixen intervals oberts amb les arrels trobades i les possibles discontinuïtats de la funció:

En aquest cas, els dos intervals (no hi ha discontinuïtats en $f(x)$) seran: $(-\mathrm{\infty },2)\cup (2,\mathrm{\infty })$ (on el símbol utilitzat es llegeix 'unió'.)

4. Es tria un valor per a cada interval i es calcula el signe de la derivada. Vegeu de triar un valor en el primer interval implica triar un nombre qualsevol entre $-\mathrm{\infty }$ i $2$:

$f^{\prime }(1)=2\cdot 1-4=-2<0$, Decreixement

Per al segon interval podem triar, per exemple, el $10$

$f^{\prime }(1)=2\cdot 10-4=16>0$, Creixement

És a dir, ja es poden establir els intervals creixents i decreixents:

$(-\mathrm{\infty },2)$ Decreixement

$(2,\mathrm{\infty })$ Creixement