Intervalos de crecimiento y decrecimiento

La idea de crecimiento o decrecimiento lleva de la mano la idea de intervalo o entorno. Una función tendrá trozos, tramos o intervalos crecientes y/o decrecientes. Ahora vamos a hacer un estudio de dichos intervalos mediante el uso de las derivadas.

Sea nuestra función $$f(x)=x^2-4x+1$$ Queremos estudiar esta función, evaluando cuando ésta es creciente o decreciente, y para ello debemos determinar sus intervalos y estudiar sus derivadas. Para tal propósito es útil seguir los siguientes pasos:

1. En primer lugar se calcula la derivada de $f(x)$ $$f^{\prime }(x)=2x-4$$

2. Se obtienen las raíces de la derivada. Para ello,se impone $f^{\prime }(x)=0$: $$f^{\prime }(x)=2x-4=0⟹x=2$$ La raíz es $x=2$.

3. Se establecen intervalos abiertos con las raíces encontradas y las posibles discontinuidades de la función:

En este caso, los dos intervalos (no hay discontinuidades en $f(x)$) serán: $(-\mathrm{\infty },2)\cup (2,\mathrm{\infty })$ (Donde el símbolo utilizado se lee 'unión'.)

4. Se elige un valor para cada intervalo y se calcula el signo de la derivada. Véase que elegir un valor en el primer intervalo implica elegir un número cualquiera entre $-\mathrm{\infty }$ y $2$:

$f^{\prime }(1)=2\cdot 1-4=-2<0$, Decrecimiento

Para el segundo intervalo podemos elegir, por ejemplo, el $10$

$f^{\prime }(1)=2\cdot 10-4=16>0$, Crecimiento

Es decir, ya se pueden establecer los intervalos crecientes y decrecientes:

$(-\mathrm{\infty },2)$ Decrecimiento

$(2,\mathrm{\infty })$ Crecimiento