Ejercicios de Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Estudiar el los intervalos de crecimiento/decrecimiento de las siguientes funciones:

a) $$y=x^2$$

b) $$y=\sin x$$

Ver desarrollo y solución

Desarrollo:

En ambos casos se buscarán dichos intervalos de dos maneras. La primera, más intuitiva, será a partir del gráfico de la función. La segunda, más analítica, se hará a partir del cálculo de la derivada.

a) Véase el gráfico de la función

imagen

Intervalos de crecimiento: $$$x\in (-\infty,0) \ \mbox{Estrictamente decreciente}$$$ $$$x\in(0,\infty) \ \mbox{Estrictamente creciente}$$$

Si uno calcula la derivada: $$y'=2x$$

Por lo tanto, para los puntos $$x < 0$$ la derivada es estrictamente negativa, lo cual implica que la función es estrictamente decreciente.

Para los puntos $$x > 0$$ la derivada es estrictamente positiva, o sea que este intervalo la función es estrictamente creciente.

b) Véase primero el gráfico

imagen

Intuitivamente se ve que hay intervalos creciente e intervalos decrecientes que se repiten periódicamente. Necesitamos las herramientas analíticas para definir con exactitud dichos intervalos.

Si uno calcula la derivada: $$y'=cos(x)$$.

Intervalos con $$y' > 0: \ \Big(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{9\pi}{2}\Big),\ldots$$

Intervalos con $$y' < 0: \ \Big(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{9\pi}{2},\dfrac{11\pi}{2}\Big),\ldots$$

En realidad pues hay infinitos intervalos tanto estrictamente crecientes/decrecientes que se repiten periódicamente en el espacio.

Solución:

a) $$x\in (-\infty,0): \ \mbox{estrictamente decreciente}$$; $$x\in(0,\infty): \ \mbox{estrictamente creciente}$$

b) Estrictamente crecientes $$y' > 0: \ \Big(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{9\pi}{2}\Big),\ldots$$

Estrictamente decrecientes $$y' < 0: \ \Big(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{9\pi}{2},\dfrac{11\pi}{2}\Big),\ldots$$

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