Ejercicios de Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Desarrollo:

En ambos casos se buscarán dichos intervalos de dos maneras. La primera, más intuitiva, será a partir del gráfico de la función. La segunda, más analítica, se hará a partir del cálculo de la derivada.

a) Véase el gráfico de la función

Intervalos de crecimiento: $$x\in (-\mathrm{\infty },0)\text{Estrictamente decreciente}$$ $$x\in (0,\mathrm{\infty })\text{Estrictamente creciente}$$

Si uno calcula la derivada: $y^{\prime }=2x$

Por lo tanto, para los puntos $x<0$ la derivada es estrictamente negativa, lo cual implica que la función es estrictamente decreciente.

Para los puntos $x>0$ la derivada es estrictamente positiva, o sea que este intervalo la función es estrictamente creciente.

b) Véase primero el gráfico

Intuitivamente se ve que hay intervalos creciente e intervalos decrecientes que se repiten periódicamente. Necesitamos las herramientas analíticas para definir con exactitud dichos intervalos.

Si uno calcula la derivada: $y^{\prime }=cos(x)$.

Intervalos con $y^{\prime }>0:(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{3\pi }{2}},{\displaystyle \frac{5\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{7\pi }{2}},{\displaystyle \frac{9\pi }{2}}),\dots$

Intervalos con $y^{\prime }<0:({\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{5\pi }{2}},{\displaystyle \frac{7\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{9\pi }{2}},{\displaystyle \frac{11\pi }{2}}),\dots$

En realidad pues hay infinitos intervalos tanto estrictamente crecientes/decrecientes que se repiten periódicamente en el espacio.

Solución:

a) $x\in (-\mathrm{\infty },0):\text{estrictamente decreciente}$; $x\in (0,\mathrm{\infty }):\text{estrictamente creciente}$

b) Estrictamente crecientes $y^{\prime }>0:(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{3\pi }{2}},{\displaystyle \frac{5\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{7\pi }{2}},{\displaystyle \frac{9\pi }{2}}),\dots$

Estrictamente decrecientes $y^{\prime }<0:({\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{5\pi }{2}},{\displaystyle \frac{7\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{9\pi }{2}},{\displaystyle \frac{11\pi }{2}}),\dots$

Ocultar desarrollo y solución