Estudiar el els intervals de creixement / decreixement de les següents funcions:
a) $$y=x^2$$
b) $$y=\sin x$$
Desenvolupament:
Ambdós casos es buscaran aquests intervals de dues maneres. La primera, més intuïtiva, serà a partir del gràfic de la funció. La segona, més analítica, es farà a partir del càlcul de la derivada.
a) Vegeu el gràfic de la funció
Intervals de creixement: $$$x\in (-\infty,0) \ \mbox{Estrictament decreixent}$$$ $$$x\in(0,\infty) \ \mbox{Estrictament creixent}$$$
Si un calcula la derivada: $$y'=2x$$
Per tant, per als punts $$x < 0$$ la derivada és estrictament negativa, la qual cosa implica que la funció és estrictament decreixent.
Per als punts $$x > 0$$ la derivada és estrictament positiva, és a dir que aquest interval la funció és estrictament creixent.
b) Vegeu primer el gràfic
Intuïtivament es veu que hi ha intervals creixent i intervals decreixents que es repeteixen periòdicament. Necessitem les eines analítiques per definir amb exactitud aquests intervals.
Si un calcula la derivada: $$y'=cos(x)$$.
Intervals amb $$y' > 0: \ \Big(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{9\pi}{2}\Big),\ldots$$
Intervals amb $$y' < 0: \ \Big(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{9\pi}{2},\dfrac{11\pi}{2}\Big),\ldots$$
En realitat ja hi ha infinits intervals tant estrictament creixents / decreixents que es repeteixen periòdicament en l'espai.
Solució:
a) $$x\in (-\infty,0): \ \mbox{estrictament decreixent}$$; $$x\in(0,\infty): \ \mbox{estrictament creixent}$$
b) Estrictament creixents $$y' > 0: \ \Big(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{9\pi}{2}\Big),\ldots$$
Estrictament decreixents $$y' < 0: \ \Big(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{9\pi}{2},\dfrac{11\pi}{2}\Big),\ldots$$