Exercicis de Intervals de creixement i decreixement

Desenvolupament:

Ambdós casos es buscaran aquests intervals de dues maneres. La primera, més intuïtiva, serà a partir del gràfic de la funció. La segona, més analítica, es farà a partir del càlcul de la derivada.

a) Vegeu el gràfic de la funció

Intervals de creixement: $$x\in (-\mathrm{\infty },0)\text{Estrictament decreixent}$$ $$x\in (0,\mathrm{\infty })\text{Estrictament creixent}$$

Si un calcula la derivada: $y^{\prime }=2x$

Per tant, per als punts $x<0$ la derivada és estrictament negativa, la qual cosa implica que la funció és estrictament decreixent.

Per als punts $x>0$ la derivada és estrictament positiva, és a dir que aquest interval la funció és estrictament creixent.

b) Vegeu primer el gràfic

Intuïtivament es veu que hi ha intervals creixent i intervals decreixents que es repeteixen periòdicament. Necessitem les eines analítiques per definir amb exactitud aquests intervals.

Si un calcula la derivada: $y^{\prime }=cos(x)$.

Intervals amb $y^{\prime }>0:(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{3\pi }{2}},{\displaystyle \frac{5\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{7\pi }{2}},{\displaystyle \frac{9\pi }{2}}),\dots$

Intervals amb $y^{\prime }<0:({\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{5\pi }{2}},{\displaystyle \frac{7\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{9\pi }{2}},{\displaystyle \frac{11\pi }{2}}),\dots$

En realitat ja hi ha infinits intervals tant estrictament creixents / decreixents que es repeteixen periòdicament en l'espai.

Solució:

a) $x\in (-\mathrm{\infty },0):\text{estrictament decreixent}$; $x\in (0,\mathrm{\infty }):\text{estrictament creixent}$

b) Estrictament creixents $y^{\prime }>0:(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{3\pi }{2}},{\displaystyle \frac{5\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{7\pi }{2}},{\displaystyle \frac{9\pi }{2}}),\dots$

Estrictament decreixents $y^{\prime }<0:({\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{5\pi }{2}},{\displaystyle \frac{7\pi }{2}}),({\displaystyle \frac{9\pi }{2}},{\displaystyle \frac{11\pi }{2}}),\dots$

Amagar desenvolupament i solució