Recta normal a una curva en un punto

Es la recta que, en el punto de corte con la curva, es perpendicular a la curva en cuestión.

Ejemplo

El siguiente ejemplo gráfico muestra la recta normal a la curva $y = \frac{1}{x - 1} + 1$ :

imagen

Dos funciones $f (x), g (x)$ serán normales en un punto si, en el punto de corte $a$ , se cumple que: $f^{'} (a) \cdot g^{'} (a) = - 1$

Ejemplo

La siguiente tabla muestra varios valores de pendientes de rectas perpendiculares entre si:

$f^{'} (a)$	$g^{'} (a)$
$1$	$- 1$
$2$	$- \frac{1}{2}$
$- 3$	$\frac{1}{3}$
$\frac{3}{8}$	$- \frac{8}{3}$

La expresión general de la recta normal a $f (x)$ en el punto $a$ es: $y - f (a) = - \frac{1}{f^{'} (a)} \cdot (x - a)$

Ejemplo

Resolver el ejemplo gráfico mostrado anteriormente, es decir, encontrar la recta normal a $f (x) = \frac{1}{x - 1} + 1$ en el punto $a = 2$ :

a) Se encuentra el pendiente de la curva en el punto de corte: $\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & - \frac{1}{(x - 1)^{2}} \\ f^{'} (2) & = & - 1 \end{array}$ Y el pendiente de la recta es: $m = - \frac{1}{f^{'} (2)} = 1$

b) Dicha recta pasará por $(a, f (a)) = (2, 2)$

Finalmente, la ecuación de la recta normal es: $\begin{array}{rcl} y - 2 & = & 1 \cdot (x - 2) \\ y & = & x \end{array}$ Lo que es consistente con la gráfica mostrada.

Ejemplo

Encuentra la recta tangente a la función $y = \sqrt{x}$ en el punto $x = 0$ , así como su recta normal.

a) Se empieza buscando la derivada de la función y su valor en $x = 0$ .

Viendo que no existe, se calcula el límite acercándose a $x = 0$ por la derecha: $\begin{array}{l} y^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ lim_{x \to 0} y^{'} (x) = lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \infty \end{array}$

b) Dado que la representación del tipo $y = a \cdot x + b$ no es útil para mostrar una variación infinita, hay que identificar que la recta normal a $y = \sqrt{x}$ coincide con el eje $y$ , es decir, con $x = 0$ .

c) Finalmente, cabe observar que la recta perpendicular al eje $y$ es el eje $x$ , es decir, $y = 0$ .