Es la recta que, en el punto de corte con la curva, es perpendicular a la curva en cuestión.
El siguiente ejemplo gráfico muestra la recta normal a la curva $$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}+1$$:
Dos funciones $$f(x),g(x)$$ serán normales en un punto si, en el punto de corte $$a$$, se cumple que: $$$f'(a)\cdot g'(a)=-1$$$
La siguiente tabla muestra varios valores de pendientes de rectas perpendiculares entre si:
| $$f'(a)$$ | $$g'(a)$$ |
| $$1$$ | $$-1$$ |
| $$2$$ | $$\displaystyle -\frac{1}{2}$$ |
| $$-3$$ | $$\displaystyle \frac{1}{3}$$ |
| $$\displaystyle \frac{3}{8}$$ | $$\displaystyle -\frac{8}{3}$$ |
La expresión general de la recta normal a $$f(x)$$ en el punto $$a$$ es:$$$\displaystyle y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}\cdot (x-a)$$$
Resolver el ejemplo gráfico mostrado anteriormente, es decir, encontrar la recta normal a $$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x-1}+1$$ en el punto $$a=2$$:
a) Se encuentra el pendiente de la curva en el punto de corte: $$$\begin{array}{rcl} \displaystyle f'(x)& =& -\frac{1}{(x-1)^2} \\ f'(2)& = &-1\end{array}$$$Y el pendiente de la recta es: $$$\displaystyle m=-\frac{1}{f'(2)}=1$$$
b) Dicha recta pasará por $$$(a,f(a))=(2,2)$$$
Finalmente, la ecuación de la recta normal es: $$$\begin{array}{rcl}y-2 & = & 1\cdot (x-2) \\ y & = & x \end{array}$$$ Lo que es consistente con la gráfica mostrada.
Encuentra la recta tangente a la función $$y=\sqrt{x}$$ en el punto $$x=0$$, así como su recta normal.
a) Se empieza buscando la derivada de la función y su valor en $$x=0$$.
Viendo que no existe, se calcula el límite acercándose a $$x=0$$ por la derecha: $$$\displaystyle \begin{array}{l} y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ \lim_{x \to 0} y'(x)=\lim_{x \to 0} \frac{1}{2\sqrt{x}}=\infty\end{array}$$$
b) Dado que la representación del tipo $$y=a\cdot x+b$$ no es útil para mostrar una variación infinita, hay que identificar que la recta normal a $$y=\sqrt{x}$$ coincide con el eje $$y$$, es decir, con $$x=0$$.
c) Finalmente, cabe observar que la recta perpendicular al eje $$y$$ es el eje $$x$$, es decir, $$y=0$$.