Ejercicios de Recta normal a una curva en un punto

Desarrollo:

a) Se definen $f(x)=x^2+4x-3$ y $g(x)=-2x+5$.

b) Se busca en primer lugar el pendiente de $r(x)$.

Pendiente de $g(x):g^{\prime }(x)=-2$

$r(x)$ normal a $g(x)\to r^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{-2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Se busca el punto de $f(x)$ con derivada de valor ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, es decir, el punto de tangencia: $$f^{\prime }(a)=2a+4={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{7}{4}}$$ $$f(-{\displaystyle \frac{7}{4}})=(-{\displaystyle \frac{7}{4}}{)}^2+4(-{\displaystyle \frac{7}{4}})-3=-{\displaystyle \frac{111}{16}}$$

El punto de tangencia será $(a,f(a))=(-{\displaystyle \frac{7}{4}},-{\displaystyle \frac{111}{16}})$

Se escribe la ecuación de la recta $r(x)$: $$y+{\displaystyle \frac{111}{16}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (x+{\displaystyle \frac{7}{4}})$$ $$r(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x-{\displaystyle \frac{97}{16}}$$

Solución:

a) $f(x)=x^2+4x-3$, $g(x)=-2x+5$.

b) $r(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x-{\displaystyle \frac{97}{16}}$

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