Exercicis de Recta normal a una corba en un punt

a) Definiu dues funcions $$f(x)$$ i $$g(x)$$, la primera una paràbola (equació de segon grau) i la segona una recta.

b) Trobeu la recta $$r(x)$$, tangent a $$f(x)$$ i normal a $$g(x)$$.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) Es defineixen $$f(x)=x^2+4x-3$$ i $$g(x)=-2x+5$$.

b) Es busca en primer lloc el pendent de $$r(x)$$.

Pendent de $$g(x): \ g'(x)=-2$$

$$r(x)$$ normal a $$g(x) \rightarrow r'(x)=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}$$

Es busca el punt de $$f(x)$$ amb derivada de valor $$\dfrac{1}{2}$$, és a dir, el punt de tangència: $$$f'(a)=2a+4=\dfrac{1}{2} \Rightarrow a=-\dfrac{7}{4}$$$ $$$f\Big(-\dfrac{7}{4}\Big)=\Big(-\dfrac{7}{4}\Big)^2+4\Big(-\dfrac{7}{4}\Big)-3=-\dfrac{111}{16}$$$

El punt de tangència serà $$(a,f(a))=\Big(-\dfrac{7}{4},-\dfrac{111}{16} \Big)$$

S'escriu l'equació de la recta $$r(x)$$: $$$y+\dfrac{111}{16}=\dfrac{1}{2}\cdot\Big(x+\dfrac{7}{4}\Big)$$$ $$$r(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x-\dfrac{97}{16}$$$

Solució:

a) $$f(x)=x^2+4x-3$$, $$g(x)=-2x+5$$.

b) $$r(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x-\dfrac{97}{16}$$

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria