Recta normal a una corba en un punt

És la recta que, en el punt de tall amb la corba, és perpendicular a la corba en qüestió.

Exemple

El següent exemple gràfic mostra la recta normal a la corba $y = \frac{1}{x - 1} + 1$ :

imagen

Dues funcions $f (x), g (x)$ seran normals en un punt si, en el punt de tall $a$ , es compleix que $f^{'} (a) \cdot g^{'} (a) = - 1$

Exemple

La següent taula mostra diversos valors de pendents de rectes perpendiculars entre si:

$f^{'} (a)$	$g^{'} (a)$
$1$	$- 1$
$2$	$- \frac{1}{2}$
$- 3$	$\frac{1}{3}$
$\frac{3}{8}$	$- \frac{8}{3}$

L'expressió general de la recta normal a $f (x)$ en el punt $a$ és: $y - f (a) = - \frac{1}{f^{'} (a)} \cdot (x - a)$

Exemple

Es resol l'exemple gràfic mostrat anteriorment, és a dir, trobar la recta normal a $f (x) = \frac{1}{x - 1} + 1$ en el punt $a = 2$ :

a) Es troba el pendent de la corba en el punt de tall: $\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & - \frac{1}{(x - 1)^{2}} \\ f^{'} (2) & = & - 1 \end{array}$ I el pendent de la recta és $m = - \frac{1}{f^{'} (2)} = 1$

b) Aquesta recta passarà per $(a, f (a)) = (2, 2)$

Finalment, l'equació de la recta normal és: $\begin{array}{rcl} y - 2 & = & 1 \cdot (x - 2) \\ y & = & x \end{array}$ El que és consistent amb la gràfica mostrada.

Exemple

Trobeu la recta tangent a la funció $y = \sqrt{x}$ en el punt $x = 0$ , així com la seva recta normal.

a) Es comença buscant la derivada de la funció i el seu valor en $x = 0$ .

Veient que no existeix, es calcula el límit acostant-se a $x = 0$ per la dreta: $\begin{array}{l} y^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ lim_{x \to 0} y^{'} (x) = lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \infty \end{array}$

b) Com que la representació del tipus $y = a \cdot x + b$ no és útil per mostrar una variació infinita, cal identificar que la recta normal a $y = \sqrt{x}$ coincideix amb l'eix $y$ , és a dir, amb $x = 0$ .

c) Finalment, cal observar que la recta perpendicular a l'eix $y$ és l'eix $x$ , és a dir, $y = 0$ .