L'anàlisi d'una funció requereix també poder determinar la concavitat o convexitat per intervals. En altres paraules es tracta de determinar el tipus de curvatura de la funció.
Diem que una funció $$f$$ és còncava en un interval $$(a,b)$$ si per a tot $$x \in (a,b) f''(x)<0$$ . D'altra banda, direm que una funció $$f$$ és convexa en un interval $$(a,b)$$ si per a tot $$x \in (a,b) f''(x)>0$$.
Però, com podem trobar els intervals de concavitat i convexitat?
Estudi de la concavitat d'una funció
- Es troba la segona derivada de $$f (x)$$ i també les seves arrels
$$f(x)=3x^3-6x+1 \Rightarrow f'(x)=9x^2-6 \Rightarrow f''(x)=18x \\ f''(x)=18x=0 \Rightarrow x=0$$
- Separem per intervals limitats pels zeros de la segona derivada acabats de trobar i les discontinuïtats de la funció (si n'hi ha)
En aquest cas, hi haurà només dos intervals, separats en el zero. És a dir, els números negatius formen un interval i els positius altre.
- Es pren un valor qualsevol de cada interval i es determina la derivada segona en aquest valor:
$$f''(-1)=-18 <0 \Rightarrow$$ Còncava
$$f''(1)= 18>0 \Rightarrow$$ Convexa
És a dir, si en un punt de l'interval la derivada segona és negativa, la curvatura es diu còncava, i si en un punt d'un interval la derivada segona és positiva, la curvatura es diu convexa.
- Es dóna la concavitat dels intervals.
L' interval dels nombres negatius és còncau, mentre que el dels positius és convex.
Sigui $$f(x)=x^5-2x^2+3x$$
- $$f''(x)=20x^3-4 \\ f''(x)=0 \Rightarrow x \approx 0.58$$
- Hi ha dos intervals: $$(- \infty, 0.58), \ (0.58, \infty)$$
- Es tria un punt qualsevol de cada interval:
$$f''(0)=-4 < 0 \Rightarrow$$ Còncava
$$f''(1)=16 > 0 \Rightarrow $$ Convexa
- Es dóna el resultat
$$(-\infty, 0.58)$$ Còncau
$$(0.58, \infty)$$ Convex