Ejercicios de Definición (axiomática) de la probabilidad y sus propiedades

Desarrollo:

a)

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. En nuestro, tenemos siete bolas numeradas, por lo que $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, es decir, sacar la bola $1$, sacar la bola $2$, etc.

Sólo podemos sacar bolas entre $1$ y $7$. Por lo tanto, $A=\{4,5,6,7\}$, que son las bolas con número mayor o igual que $4$.

$B=\{2,4,6\}$, ya que corresponde con los números pares que hay entre $1$ y $7$.

$C=\{3,6\}$, los múltiplos de $3$ entre $1$ y $7$.

$D=\mathrm{\varnothing }$, es decir, $D$ es un suceso imposible, puesto que sólo tenemos bolas entre $1$ y $7$, y por tanto, no podemos sacar nunca una bola con número mayor que $8$.

b)

Utilizaremos la regla de Laplace en los primeros casos, y luego razonaremos por las propiedades que conocemos.

$P(A)={\displaystyle \frac{4}{7}}$, ya que hay cuatro casos favorables de un total de siete, y todos son equiprobables.

$P(C)={\displaystyle \frac{2}{7}}$, como antes, aplicando la regla de Laplace.

$P(D)=0$, ya que es el suceso imposible.

Para calcular $P(\bar{C})$, como ya tenemos $P(C)$, lo hacemos según $P(\bar{C})=1-P(C)=1-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$.

Con la misma fórmula, $P(\bar{D})=1-P(D)=1-0=1$. También podríamos calcularla razonando que el contrario del suceso imposible es el suceso seguro, que tiene probabilidad 1 por el axioma 2.

Para calcular $P(A\cup \bar{C})$, debemos calcular el suceso $A\cup \bar{C}=\{4,5,6,7\}\cup \{1,2,4,5,7\}=\{1,2,4,5,6,7\}$. Por la regla de Laplace, $P(A\cup \bar{C})={\displaystyle \frac{6}{7}}$, ya que hay $6$ casos favorables de un total de $7$ sucesos elementales.

Por último, podemos calcular $P(A\cap \bar{C})$ utilizando la fórmula $P(A\cup \bar{C})=P(A)+P(\bar{C})-P(A\cap \bar{C})$.

Sustituyendo por los valores que conocemos, ${\displaystyle \frac{6}{7}}={\displaystyle \frac{4}{7}}+{\displaystyle \frac{5}{7}}-P(A\cap \bar{C})$. Por lo tanto, $$P(A\cap \bar{C})={\displaystyle \frac{4}{7}}+{\displaystyle \frac{5}{7}}-{\displaystyle \frac{6}{7}}={\displaystyle \frac{3}{7}}$$

Solución:

a) $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $A=\{4,5,6,7\}$, $B=\{2,4,6\}$, $C=\{3,6\}$, $D=\mathrm{\varnothing }$.

b) $P(A)={\displaystyle \frac{4}{7}}$, $P(C)={\displaystyle \frac{2}{7}}$, $P(D)=0$, $P(\bar{C})={\displaystyle \frac{5}{7}}$, $P(\bar{D})=1$, $P(A\cup \bar{C})={\displaystyle \frac{6}{7}}$, $P(A\cap \bar{C})={\displaystyle \frac{3}{7}}$.

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