Exercicis de Definició (axiomàtica) de la probabilitat i les seves propietats

Desenvolupament:

a)

L'espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles. En el nostre, tenim set boles numerades, de manera que $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, és a dir, treure la bola $1$, treure la bola $2$, etc.

Només podem treure boles entre $1$ i $7$. Per tant, $A=\{4,5,6,7\}$, que són les boles amb nombre major o igual que $4$.

$B=\{2,4,6\}$, ja que correspon amb els nombres parells que hi ha entre $1$ i $7$.

$C=\{3,6\}$, els múltiples de $3$ entre $1$ i $7$.

$D=\mathrm{\varnothing }$, és a dir, $D$ és un succés impossible, ja que només tenim boles entre $1$ i $7$, i per tant, no podem treure mai una bola amb nombres més gran que $8$.

b)

Utilitzarem la regla de Laplace en els primers casos, i després raons per les propietats que coneixem.

$P(A)={\displaystyle \frac{4}{7}}$, ja que hi ha quatre casos favorables d'un total de set, i tots són equiprobables.

$P(C)={\displaystyle \frac{2}{7}}$, com abans, aplicant la regla de Laplace.

$P(D)=0$, ja que és el succés impossible.

Per calcular $P(\bar{C})$, com ja tenim $P(C)$, ho fem segons $P(\bar{C})=1-P(C)=1-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$.

Amb la mateixa fórmula, $P(\bar{D})=1-P(D)=1-0=1$. També podríem calcular raonant que el contrari del succés impossible és el succés segur, que té probabilitat 1 per l'axioma 2.

Per calcular $P(A\cup \bar{C})$, hem de calcular el succés $A\cup \bar{C}=\{4,5,6,7\}\cup \{1,2,4,5,7\}=\{1,2,4,5,6,7\}$. Per la regla de Laplace, $P(A\cup \bar{C})={\displaystyle \frac{6}{7}}$, ja que hi ha $6$ casos favorables d'un total de $7$ successos elementals.

Finalment, podem calcular $P(A\cap \bar{C})$ utilitzant la fórmula $P(A\cup \bar{C})=P(A)+P(\bar{C})-P(A\cap \bar{C})$.

Substituint pels valors que coneixem, ${\displaystyle \frac{6}{7}}={\displaystyle \frac{4}{7}}+{\displaystyle \frac{5}{7}}-P(A\cap \bar{C})$. Per tant $$P(A\cap \bar{C})={\displaystyle \frac{4}{7}}+{\displaystyle \frac{5}{7}}-{\displaystyle \frac{6}{7}}={\displaystyle \frac{3}{7}}$$

Solució:

a) $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $A=\{4,5,6,7\}$, $B=\{2,4,6\}$, $C=\{3,6\}$, $D=\mathrm{\varnothing }$.

b) $P(A)={\displaystyle \frac{4}{7}}$, $P(C)={\displaystyle \frac{2}{7}}$, $P(D)=0$, $P(\bar{C})={\displaystyle \frac{5}{7}}$, $P(\bar{D})=1$, $P(A\cup \bar{C})={\displaystyle \frac{6}{7}}$, $P(A\cap \bar{C})={\displaystyle \frac{3}{7}}$.

Amagar desenvolupament i solució